Hallar la solución Por el metado de la nuersa \( \begin{array}{l}X=A^{-1} B\end{array} \) \( \begin{array}{r}-4 x_{3}=0 \\ x_{2}+3 x_{3}=5 \\ 5 x_{1}+3 x_{2}-8 x_{3}=1\end{array} \) Hallar la inversa utilizandu el metodo de Grauss-Jordan \( [A \mid I]:\left[I \mid A^{-1}\right] \)

Para resolver el sistema de ecuaciones utilizando el método de Gauss-Jordan y encontrar la inversa de la matriz \( A \), seguiremos los siguientes pasos: 1. **Escribir el sistema en forma de matriz aumentada**: El sistema de ecuaciones se puede representar en forma de matriz aumentada \( [A | I] \), donde \( A \) es la matriz de coeficientes y \( I \) es la matriz identidad. Las ecuaciones son: \[ \begin{align*} -4x_3 &= 0 \\ x_2 + 3x_3 &= 5 \\ 5x_1 + 3x_2 - 8x_3 &= 1 \end{align*} \] La matriz de coeficientes \( A \) y la matriz identidad \( I \) son: \[ A = \begin{bmatrix} 5 & 3 & -8 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -4 \end{bmatrix}, \quad I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] Entonces, la matriz aumentada es: \[ [A | I] = \begin{bmatrix} 5 & 3 & -8 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] 2. **Aplicar el método de Gauss-Jordan**: Vamos a transformar la matriz aumentada en la forma escalonada reducida. - Primero, dividimos la tercera fila por \(-4\) para hacer que el pivote sea 1: \[ R_3 \leftarrow \frac{1}{-4} R_3 \] Esto nos da: \[ \begin{bmatrix} 5 & 3 & -8 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & -\frac{1}{4} \end{bmatrix} \] - Ahora, eliminamos el tercer elemento de la primera y segunda fila: \[ R_1 \leftarrow R_1 + 8R_3 \] \[ R_2 \leftarrow R_2 - 3R_3 \] Esto nos da: \[ \begin{bmatrix} 5 & 3 & 0 & | & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & \frac{3}{4} \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & -\frac{1}{4} \end{bmatrix} \] - Ahora, dividimos la primera fila por 5: \[ R_1 \leftarrow \frac{1}{5} R_1 \] Esto nos da: \[ \begin{bmatrix} 1 & \frac{3}{5} & 0 & | & \frac{1}{5} & 0 & \frac{2}{5} \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & \frac{3}{4} \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & -\frac{1}{4} \end{bmatrix} \] - Finalmente, eliminamos el segundo elemento de la primera fila: \[ R_1 \leftarrow R_1 - \frac{3}{5}R_2 \] Esto nos da la forma final: \[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{1}{5} & -\frac{3}{5} & \frac{7}{20} \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & \frac{3}{4} \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & -\frac{1}{4} \end{bmatrix} \] 3. **Extraer la inversa de la matriz**: La parte derecha de la matriz aumentada ahora representa la inversa de \( A \): \[ A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{5} & -\frac{3}{5} & \frac{7}{20} \\ 0 & 1 & \frac{3}{4} \\ 0 & 0 & -\frac{1}{4} \end{bmatrix} \] 4. **Solución del sistema**: Ahora que tenemos \( A^{-1} \), podemos encontrar \( X \) usando la relación \( X = A^{-1}B \). Sin embargo, no se ha proporcionado el vector \( B \) en el problema. Si se proporciona, podemos calcular \( X \). Por lo tanto, hemos encontrado la inversa de la matriz \( A \) utilizando el método de Gauss-Jordan. Si necesitas más ayuda o si tienes el vector \( B \), por favor házmelo saber.