3. Un estudiante quiere diseñar un jardín rectangular. Desea que el área sea mayor a 50 \( m^{2} \), pero el largo del jardín es siempre 3 metros más que el ancho. ¿Qué dimensiones podría tener el jardín?

1. Sea \( w \) el ancho en metros y \( l \) el largo en metros. Sabemos que: \[ l = w + 3 \] 2. El área \( A \) del rectángulo es: \[ A = w \cdot l = w(w + 3) \] El problema indica que: \[ w(w + 3) > 50 \] 3. Desarrollamos la desigualdad: \[ w^2 + 3w - 50 > 0 \] 4. Resolvamos la ecuación cuadrática asociada: \[ w^2 + 3w - 50 = 0 \] Usando la fórmula general: \[ w = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] donde \( a = 1 \), \( b = 3 \) y \( c = -50 \). Calculamos el discriminante: \[ \Delta = 3^2 - 4(1)(-50) = 9 + 200 = 209 \] Por lo tanto: \[ w = \frac{-3 \pm \sqrt{209}}{2} \] 5. Como el ancho \( w \) debe ser un número positivo, tomamos: \[ w = \frac{-3 + \sqrt{209}}{2} \] La solución de la desigualdad \( w^2 + 3w - 50 > 0 \) es: \[ w > \frac{-3 + \sqrt{209}}{2} \] 6. Así, las dimensiones del jardín serán: - Ancho: \( w > \frac{-3+\sqrt{209}}{2} \) metros. - Largo: \( l = w + 3 \) metros, es decir, \( l > \frac{-3+\sqrt{209}}{2} + 3 \). Estas son las condiciones que deben cumplir las dimensiones del jardín para que el área sea mayor a \( 50 \, m^2 \).