(3) Resolva as seguintas aquacōes afilicondo facterival. a) \( \frac{(n+1)!}{(n-1)!}=12 \) \[ \text { lo) } \frac{(n-1)!}{(n-3)!}=56 \]

Primeiro, vamos resolver a primeira equação: Para a equação \( \frac{(n+1)!}{(n-1)!}=12 \), podemos simplificá-la. Notamos que \( (n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)! \). Assim, substituindo na equação: \[ \frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!}{(n-1)!} = 12 \] Cancelando \( (n-1)! \) dos dois lados, ficamos com: \[ (n+1) \cdot n = 12 \] Multiplicando e reorganizando, temos: \[ n^2 + n - 12 = 0 \] Agora, podemos resolver essa equação quadrática utilizando o discriminante ou fatoração. A fatoração nos dá: \[ (n-3)(n+4) = 0 \] Portanto, \( n = 3 \) ou \( n = -4 \). Dado que estamos tratando de fatorial, descartamos \( n = -4 \). Então, \( n = 3 \). Agora, para a segunda equação \( \frac{(n-1)!}{(n-3)!}=56 \): Podemos simplificá-la também. Sabemos que \( (n-1)! = (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3)! \). Assim, substituindo na equação: \[ \frac{(n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3)!}{(n-3)!} = 56 \] Cancelando \( (n-3)! \), ficamos com: \[ (n-1)(n-2) = 56 \] Multiplicando e reorganizando, temos: \[ n^2 - 3n - 56 = 0 \] Utilizando a fatoração: \[ (n-8)(n+7) = 0 \] Assim, \( n = 8 \) ou \( n = -7 \). Novamente, descartamos \( n = -7 \) pois não é válido para fatoriais. Portanto, \( n = 8 \). Resumindo: a) \( n = 3 \) b) \( n = 8 \)