Jika \( x>0 \) dan \( y>0 \), hitunglah nilai dari \( \frac{3-3 \log ^{2} x y}{1-\log x^{3} y^{2}+2 \log x \sqrt{y}} \) A. \( 3+\log x y \) B. \( 3 \log x y \) C. \( 3 \log 10 x y \) D. \( \frac{1}{3} \) E. 3

Mari kita hitung nilai dari ekspresi yang diberikan: \[ \frac{3-3 \log ^{2} (xy)}{1-\log (x^{3} y^{2})+2 \log (x \sqrt{y})} \] ### Langkah 1: Sederhanakan bagian atas Kita mulai dengan menyederhanakan bagian atas: \[ 3 - 3 \log^{2} (xy) = 3(1 - \log^{2} (xy)) \] ### Langkah 2: Sederhanakan bagian bawah Sekarang kita akan menyederhanakan bagian bawah: \[ 1 - \log (x^{3} y^{2}) + 2 \log (x \sqrt{y}) \] Kita tahu bahwa: \[ \log (x^{3} y^{2}) = 3 \log x + 2 \log y \] Dan: \[ \log (x \sqrt{y}) = \log x + \frac{1}{2} \log y \] Sehingga: \[ 2 \log (x \sqrt{y}) = 2 \log x + \log y \] Maka, substitusi ke dalam bagian bawah: \[ 1 - (3 \log x + 2 \log y) + (2 \log x + \log y) = 1 - 3 \log x - 2 \log y + 2 \log x + \log y \] Sederhanakan: \[ 1 - \log x - \log y = 1 - \log (xy) \] ### Langkah 3: Gabungkan hasil Sekarang kita gabungkan hasil dari bagian atas dan bawah: \[ \frac{3(1 - \log^{2} (xy))}{1 - \log (xy)} \] ### Langkah 4: Sederhanakan lebih lanjut Kita bisa menggunakan identitas \( 1 - a^{2} = (1 - a)(1 + a) \): \[ 1 - \log^{2} (xy) = (1 - \log (xy))(1 + \log (xy)) \] Sehingga ekspresi kita menjadi: \[ \frac{3(1 - \log (xy))(1 + \log (xy))}{1 - \log (xy)} \] Kita bisa membatalkan \( 1 - \log (xy) \) (asalkan \( \log (xy) \neq 1 \)): \[ 3(1 + \log (xy)) \] ### Langkah 5: Hasil akhir Jadi, kita mendapatkan: \[ 3 + 3 \log (xy) \] Namun, kita harus memeriksa pilihan jawaban yang ada. Dari pilihan yang ada, kita lihat bahwa: \[ 3 + 3 \log (xy) = 3(1 + \log (xy)) = 3 \log (10 \cdot xy) \] Jadi, jawaban yang benar adalah: **C. \( 3 \log_{10} (xy) \)**