Answer
**d) \( 2x^2 + 5x - 3 \leq 0 \):**
- Raíces: \( x = -3 \) y \( x = \frac{1}{2} \)
- Solución: \( x \) entre -3 y \( \frac{1}{2} \)
**b) \( 2x(x-5) + 3x \geq 10\left(\frac{1}{2} - x\right) \):**
- Simplificado: \( 2x^2 + 3x - 5 \geq 0 \)
- Raíces: \( x = -\frac{5}{2} \) y \( x = 1 \)
- Solución: \( x \leq -\frac{5}{2} \) o \( x \geq 1 \)
Solution
**d) Resolver \( 2x^2+5x-3\leq 0 \):**
1. Planteamos la ecuación asociada:
\[
2x^2+5x-3=0
\]
2. Calculamos el discriminante:
\[
\Delta=5^2-4\cdot2\cdot(-3)=25+24=49
\]
3. Hallamos las raíces usando la fórmula general:
\[
x=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2\cdot2}=\frac{-5\pm7}{4}
\]
Obteniendo:
\[
x_1=\frac{-5+7}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \quad \text{y} \quad x_2=\frac{-5-7}{4}=\frac{-12}{4}=-3
\]
4. Dado que el coeficiente de \(x^2\) es positivo (\(2>0\)), la parábola se abre hacia arriba. Por ello, la desigualdad \(2x^2+5x-3\leq0\) se satisface entre las raíces:
\[
x \in [-3,\frac{1}{2}]
\]
---
**b) Resolver \( 2x(x-5)+3x\geq10\left(\frac{1}{2}-x\right) \):**
1. Simplificamos el lado izquierdo:
\[
2x(x-5)+3x = 2x^2-10x+3x = 2x^2-7x
\]
2. Expandimos el lado derecho:
\[
10\left(\frac{1}{2}-x\right)=5-10x
\]
3. Planteamos la desigualdad:
\[
2x^2-7x\geq5-10x
\]
4. Llevamos todos los términos al lado izquierdo:
\[
2x^2-7x-5+10x\geq0 \quad \Longrightarrow \quad 2x^2+3x-5\geq0
\]
5. Resolvemos la ecuación asociada:
\[
2x^2+3x-5=0
\]
6. Calculamos el discriminante:
\[
\Delta=3^2-4\cdot2\cdot(-5)=9+40=49
\]
7. Hallamos las raíces:
\[
x=\frac{-3\pm\sqrt{49}}{4}=\frac{-3\pm7}{4}
\]
Así:
\[
x_1=\frac{-3+7}{4}=\frac{4}{4}=1 \quad \text{y} \quad x_2=\frac{-3-7}{4}=\frac{-10}{4}=-\frac{5}{2}
\]
8. Como el coeficiente de \(x^2\) es positivo, la función es mayor o igual a cero fuera del intervalo entre las raíces. Por tanto, la solución es:
\[
x\leq -\frac{5}{2} \quad \text{ó} \quad x\geq 1
\]
Es decir:
\[
x\in\left(-\infty,-\frac{5}{2}\right]\cup[1,\infty)
\]
Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor
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