\begin{tabular}{l} 1. Resuelva los siguientes ejercicios usando el tipo de factorización adecuada, \\ \begin{tabular}{ll} a) \( 25 x^{4} y^{3}-15 x^{2} \) & (1 punto) \\ b) \( 52 x^{4} y^{3} z-104 x^{2} y^{4} z^{2}-65 x^{2} y z \) & (1 punto) \\ c) \( 9 x^{2 n}-\frac{1}{49} \) & (1 punto) \\ dx \( +12 x y+4 y^{2} \) & (1 punto) \\ \hline \\ e) \( 4 x^{2}+4 x-3 \) & \\ \hline\end{tabular} \\ \hline\end{tabular}

Vamos a resolver cada uno de los ejercicios utilizando el tipo de factorización adecuada. ### a) \( 25 x^{4} y^{3}-15 x^{2} \) 1. **Identificar el factor común**: Observamos que ambos términos tienen un factor común de \( 5 x^{2} \). 2. **Factorizar**: Sacamos el factor común: \[ 25 x^{4} y^{3} - 15 x^{2} = 5 x^{2} (5 x^{2} y^{3} - 3) \] ### b) \( 52 x^{4} y^{3} z - 104 x^{2} y^{4} z^{2} - 65 x^{2} y z \) 1. **Identificar el factor común**: El factor común en todos los términos es \( 13 x^{2} y z \). 2. **Factorizar**: Sacamos el factor común: \[ 52 x^{4} y^{3} z - 104 x^{2} y^{4} z^{2} - 65 x^{2} y z = 13 x^{2} y z (4 x^{2} y^{2} - 8 y^{3} z - 5) \] ### c) \( 9 x^{2 n} - \frac{1}{49} \) 1. **Identificar la forma**: Este es un caso de diferencia de cuadrados, ya que \( 9 x^{2 n} = (3 x^{n})^{2} \) y \( \frac{1}{49} = \left(\frac{1}{7}\right)^{2} \). 2. **Aplicar la diferencia de cuadrados**: \[ 9 x^{2 n} - \frac{1}{49} = (3 x^{n} - \frac{1}{7})(3 x^{n} + \frac{1}{7}) \] ### d) \( +12 x y + 4 y^{2} \) 1. **Identificar el factor común**: El factor común es \( 4y \). 2. **Factorizar**: Sacamos el factor común: \[ 12 x y + 4 y^{2} = 4 y (3 x + y) \] ### e) \( 4 x^{2} + 4 x - 3 \) 1. **Identificar la forma**: Este es un trinomio cuadrático. Usamos la fórmula general para factorizar. 2. **Calcular el discriminante**: \[ D = b^{2} - 4ac = 4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 \] 3. **Encontrar las raíces**: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 8}{8} \] Esto nos da las raíces: \[ x_{1} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}, \quad x_{2} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2} \] 4. **Factorizar**: \[ 4 x^{2} + 4 x - 3 = 4 \left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x + \frac{3}{2}\right) = (2x - 1)(2x + 3) \] ### Resumen de las soluciones: a) \( 5 x^{2} (5 x^{2} y^{3} - 3) \) b) \( 13 x^{2} y z (4 x^{2} y^{2} - 8 y^{3} z - 5) \) c) \( (3 x^{n} - \frac{1}{7})(3 x^{n} + \frac{1}{7}) \) d) \( 4 y (3 x + y) \) e) \( (2x - 1)(2x + 3) \)