PROBLEMA 1.8 Un treno inizialmente fermo si mette in moto rettilineo all'istante \( t=0 \) con accelera- zione scalare iniziale \( a_{0}=0.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \). A partire dal valore iniziale, l'accelerazione dimi- nuisce linearmente nel tempo e si annulla all'istante \( t_{1} \) in cui il treno ha raggiunto una velocità di modulo \( v_{1}=90 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \). Si determini lo spazio percorso dal treno fino all'istante \( t_{1} \).
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Iniziamo convertendo la velocità finale \( v_{1} = 90 \, \text{km/h} \) in \( \text{m/s} \). Utilizzando il fattore di conversione \( \frac{1000 \, \text{m}}{3600 \, \text{s}} \), otteniamo \( v_{1} = 25 \, \text{m/s} \). Sappiamo che l'accelerazione decresce linearmente, quindi se attingiamo il tempo \( t_1 \) in cui si raggiunge questa velocità, possiamo usare la formula della velocità media. L'accelerazione iniziale \( a_{0} = 0.5 \, \text{m/s}^2 \) e l'accelerazione finale al tempo \( t_{1} \) è \( a(t_1) = 0 \). Utilizzando la relazione \( a(t) = a_{0} - kt \) per un certo k costante, e sapendo che la variazione della velocità è legata all'accelerazione integrata, possiamo impostare i calcoli per trovare \( t_1 \) e lo spazio percorso. Usiamo l'equazione: \[ v = a_{0} \cdot t - \frac{kt^2}{2} \] e sappiamo anche che la velocità media sarà: \[ \bar{v} = \frac{0 + 25}{2} = 12.5 \, \text{m/s} \] Inoltre, la distanza percorsa \( S \) sarà: \[ S = \bar{v} \cdot t_1 \] Dove trovando \( t_1 \) possiamo derivare il valore dello spazio percorso. Se supponiamo che \( a(t) \) scenda linearmente a zero in un certo tempo, il tempo richiesto per raggiungere \( v_{1} \) può essere calcolato correttamente seguendo queste equazioni. In questo caso, è richiesto il calcolo di k in relazione al tempo e all'accelerazione iniziale, che porterà alla risoluzione per ottenere lo spazio finale \( S \).