PROBLEMA 1.8 Un treno inizialmente fermo si mette in moto rettilineo all'istante $$ t=0 $$ con accelera- zione scalare iniziale $$ a_{0}=0.5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} $$. A partire dal valore iniziale, l'accelerazione dimi- nuisce linearmente nel tempo e si annulla all'istante $$ t_{1} $$ in cui il treno ha raggiunto una velocità di modulo $$ v_{1}=90 \mathrm{~km} / \mathrm{h} $$. Si determini lo spazio percorso dal treno fino all'istante $$ t_{1} $$.

Question

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Definiamo i dati del problema:

- Accelerazione iniziale: $$ a_0 = 0.5 \, \mathrm{m/s^2} $$
- Il treno parte da fermo: $$ v(0) = 0 $$
- L’accelerazione diminuisce linearmente; quindi possiamo scrivere
  $$
  a(t) = a_0 + k\,t,
  $$
  dove $$ k $$ è una costante da determinare.
- Sappiamo che l’accelerazione si annulla all’istante $$ t_1 $$:
  $$
  a(t_1) = a_0 + k\,t_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{a_0}{t_1}.
  $$
- Alla stessa istante $$ t_1 $$ la velocità è $$ v_1 = 90 \, \mathrm{km/h} $$.

Convertiamo $$ v_1 $$ in $$\mathrm{m/s}$$:
$$
v_1 = \frac{90 \, \mathrm{km/h}}{3.6} \approx 25 \, \mathrm{m/s}.
$$

---

**1. Calcolo dell'istante $$ t_1 $$:**

La velocità al tempo $$ t $$ è data dall’integrale dell’accelerazione:
$$
v(t) = \int_0^t a(t')\,dt' = \int_0^t \left(a_0 + k\,t'\right) dt' = a_0\,t + \frac{1}{2}\,k\,t^2.
$$

Alla condizione $$ t = t_1 $$ e $$ v(t_1) = v_1 $$:
$$
v_1 = a_0\,t_1 + \frac{1}{2} \, k\,t_1^2.
$$

Sostituendo $$ k = -\frac{a_0}{t_1} $$:
$$
v_1 = a_0\,t_1 + \frac{1}{2} \left(-\frac{a_0}{t_1}\right)t_1^2 
= a_0\,t_1 - \frac{1}{2}\,a_0\,t_1 
= \frac{1}{2}\,a_0\,t_1.
$$

Da cui ricaviamo:
$$
t_1 = \frac{2\,v_1}{a_0} = \frac{2 \cdot 25}{0.5} = \frac{50}{0.5} = 100 \, \mathrm{s}.
$$

---

**2. Calcolo dello spazio percorso $$ s(t_1) $$:**

Lo spazio percorso è dato dall’integrale della velocità:
$$
s(t) = \int_0^t v(t') \, dt'.
$$

Con la velocità espressa in funzione del tempo:
$$
v(t) = a_0\,t + \frac{1}{2} \, k\,t^2,
$$
si ha:
$$
s(t_1) = \int_0^{t_1} \left(a_0\,t + \frac{1}{2}\,k\,t^2\right) dt.
$$

Calcoliamo gli integrali separatamente:
$$
\int_0^{t_1} a_0\,t \, dt = a_0\,\frac{t_1^2}{2},
$$
$$
\int_0^{t_1} \frac{1}{2}\,k\,t^2 \, dt = \frac{1}{2}\,k\,\frac{t_1^3}{3} = \frac{k\,t_1^3}{6}.
$$

Pertanto:
$$
s(t_1) = \frac{1}{2}\,a_0\,t_1^2 + \frac{k\,t_1^3}{6}.
$$

Sostituendo $$ k = -\frac{a_0}{t_1} $$:
$$
s(t_1) = \frac{1}{2}\,a_0\,t_1^2 + \frac{-\frac{a_0}{t_1}\,t_1^3}{6} 
= \frac{1}{2}\,a_0\,t_1^2 - \frac{a_0\,t_1^2}{6}.
$$

Combinando i termini:
$$
s(t_1) = a_0\,t_1^2 \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6}\right)
= a_0\,t_1^2 \left(\frac{3-1}{6}\right)
= \frac{a_0\,t_1^2}{3}.
$$

Sostituendo i valori $$\,a_0 = 0.5 \, \mathrm{m/s^2}$$ e $$\,t_1 = 100 \, \mathrm{s}$$:
$$
s(t_1) = \frac{0.5 \cdot (100)^2}{3} = \frac{0.5 \cdot 10000}{3} = \frac{5000}{3} \approx 1666.67 \, \mathrm{m}.
$$

---

La soluzione è quindi che il treno percorre uno spazio di circa $$1667 \, \mathrm{m}$$ (o $$1.667 \, \mathrm{km}$$) fino ad $$ t_1 $$.
Il treno percorre circa 1667 metri fino all'istante $$ t_1 $$.

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