14 \( \quad \) 1) Resolver las siguientes inecuaciones: \( \begin{array}{ll}\text { a) } 2 x^{2}+5 x-3 \leq 0 \\ \text { |un }\rangle & \text { b) } 2 x(x-5)+3 x \geq 10\left(\frac{1}{2}-x\right)\end{array} \)

Resolveremos cada inecuación paso a paso. ### a) Resolver \( 2x^2+5x-3 \leq 0 \) 1. **Encontrar las raíces de la ecuación asociada** Resolvemos la ecuación \[ 2x^2+5x-3=0. \] Calculamos el discriminante: \[ D=5^2-4\cdot 2\cdot (-3)=25+24=49. \] Entonces, las raíces se obtienen con la fórmula cuadrática: \[ x=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2\cdot 2}=\frac{-5\pm7}{4}. \] De aquí obtenemos: \[ x_1=\frac{-5+7}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\quad\text{y}\quad x_2=\frac{-5-7}{4}=\frac{-12}{4}=-3. \] 2. **Determinar el intervalo donde la inecuación se cumple** Como el coeficiente de \( x^2 \) (que es 2) es positivo, la parábola se abre hacia arriba, lo que implica que el trinómio es negativo o igual a cero entre las raíces. Por ello, la solución es: \[ -3\leq x\leq \frac{1}{2}. \] ### b) Resolver \( 2x(x-5)+3x \geq 10\left(\frac{1}{2}-x\right) \) 1. **Simplificar la inecuación** Comenzamos desarrollando el lado izquierdo: \[ 2x(x-5)+3x=2x^2-10x+3x=2x^2-7x. \] Y desarrollamos el lado derecho: \[ 10\left(\frac{1}{2}-x\right)=5-10x. \] La inecuación se vuelve: \[ 2x^2-7x\geq5-10x. \] 2. **Llevar todos los términos al mismo lado** Restamos \( 5-10x \) de ambos lados: \[ 2x^2-7x-5+10x\geq0 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2+3x-5\geq0. \] 3. **Encontrar las raíces de la ecuación asociada** Resolvemos la ecuación: \[ 2x^2+3x-5=0. \] Calculamos el discriminante: \[ D=3^2-4\cdot 2\cdot (-5)=9+40=49. \] Entonces, \[ x=\frac{-3\pm\sqrt{49}}{2\cdot 2}=\frac{-3\pm7}{4}. \] Obtenemos: \[ x_1=\frac{-3+7}{4}=\frac{4}{4}=1\quad\text{y}\quad x_2=\frac{-3-7}{4}=-\frac{10}{4}=-\frac{5}{2}. \] 4. **Determinar el intervalo donde la inecuación se cumple** Al ser la parábola abierta hacia arriba, la inecuación \( 2x^2+3x-5\geq0 \) se cumple fuera del intervalo formado por las raíces. Es decir: \[ x\leq -\frac{5}{2}\quad \text{ó} \quad x\geq 1. \] ### Respuestas finales a) La solución de \( 2x^2+5x-3\leq 0 \) es: \[ -3\leq x\leq \frac{1}{2}. \] b) La solución de \( 2x(x-5)+3x\geq10\left(\frac{1}{2}-x\right) \) es: \[ x\leq -\frac{5}{2}\quad \text{o} \quad x\geq 1. \]