36. यदि 8 अंकों की संख्या 3 x 5479 y 4 , 88 से विभाज्य है, और 8 अंकों की संख्या $$ 425139 \mathrm{z} 2,9 $$ से विभाज्य है, तो $$ (3 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}-\mathrm{z}) $$ का अधिकतम मान ज्ञात

Question

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दी गई समस्याओं को चरणबद्ध तरीके से हल करते हैं:

### पहला संख्या: 3**x**5479**y**4
**विभाज्यता शर्त:** 88 से विभाज्य

88 का मतलब है कि संख्या को 8 और 11 दोनों से विभाज्य होना चाहिए।

1. **8 से विभाज्यता:**
   - किसी संख्या को 8 से विभाजित होने के लिए उसकी अंतिम तीन अंक 8 से विभाजित होने चाहिए।
   - यहाँ अंतिम तीन अंक हैं: **9 y 4**
   - ये संख्या 904 + 10y के बराबर होगी। इसे 8 से विभाज्य बनाने के लिए:
     $$
     904 + 10y \equiv 0 \pmod{8} \implies 2y \equiv 0 \pmod{8} \implies y \equiv 0 \pmod{4}
     $$
     अतः, $$ y = 0, 4, 8 $$

2. **11 से विभाज्यता:**
   - 11 से विभाज्य होने के लिए, विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों का योग का अंतर 11 का गुणज होना चाहिए।
   - संख्या: [3][x][5][4][7][9][y][4]
   - विषम स्थानों का योग: $$ 3 + 5 + 7 + y = 15 + y $$
   - सम स्थानों का योग: $$ x + 4 + 9 + 4 = x + 17 $$
   - अंतर: $$ |(15 + y) - (x + 17)| = |y - x - 2| $$
   - यह अंतर 0 या 11 होना चाहिए।

**संभावित समाधान:**
   - $$ y = x + 2 $$ $$\Rightarrow$$ $$ y = 4 $$ तब $$ x = 2 $$ और $$ y = 8 $$ तब $$ x = 6 $$
   - $$ y = x - 9 $$ केवल संभव है जब $$ x = 9 $$ और $$ y = 0 $$

अतः संभावित (x, y) संयोजन हैं:
   - (2, 4)
   - (6, 8)
   - (9, 0)

### दूसरा संख्या: 425139**z**2
**विभाज्यता शर्त:** 2 और 9 से विभाज्य

1. **2 से विभाज्यता:**
   - अंतिम अंक $$ 2 $$ है, जो कि 2 से विभाजित होता है।

2. **9 से विभाज्यता:**
   - अंकों का योग 9 का गुणज होना चाहिए।
   - अंकों का योग: $$ 4 + 2 + 5 + 1 + 3 + 9 + z + 2 = 26 + z $$
   - $$ 26 + z \equiv 0 \pmod{9} \implies z \equiv 1 \pmod{9} $$
   - अतः $$ z = 1 $$

### अधिकतम मान निकालना:
अब हमें $$ 3x + 2y - z $$ का अधिकतम मान निकालना है, जहाँ $$ z = 1 $$।

1. $$ (x, y) = (2, 4) $$:
   $$
   3(2) + 2(4) - 1 = 6 + 8 - 1 = 13
   $$

2. $$ (x, y) = (6, 8) $$:
   $$
   3(6) + 2(8) - 1 = 18 + 16 - 1 = 33
   $$

3. $$ (x, y) = (9, 0) $$:
   $$
   3(9) + 2(0) - 1 = 27 + 0 - 1 = 26
   $$

**अधिकतम मान:** 33

**उत्तर:** $$ 33 $$
The maximum value of $$ 3x + 2y - z $$ is 33.

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