36. यदि 8 अंकों की संख्या 3 x 5479 y 4 , 88 से विभाज्य है, और 8 अंकों की संख्या \( 425139 \mathrm{z} 2,9 \) से विभाज्य है, तो \( (3 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}-\mathrm{z}) \) का अधिकतम मान ज्ञात

दी गई समस्याओं को चरणबद्ध तरीके से हल करते हैं: ### पहला संख्या: 3**x**5479**y**4 **विभाज्यता शर्त:** 88 से विभाज्य 88 का मतलब है कि संख्या को 8 और 11 दोनों से विभाज्य होना चाहिए। 1. **8 से विभाज्यता:** - किसी संख्या को 8 से विभाजित होने के लिए उसकी अंतिम तीन अंक 8 से विभाजित होने चाहिए। - यहाँ अंतिम तीन अंक हैं: **9 y 4** - ये संख्या 904 + 10y के बराबर होगी। इसे 8 से विभाज्य बनाने के लिए: \[ 904 + 10y \equiv 0 \pmod{8} \implies 2y \equiv 0 \pmod{8} \implies y \equiv 0 \pmod{4} \] अतः, \( y = 0, 4, 8 \) 2. **11 से विभाज्यता:** - 11 से विभाज्य होने के लिए, विषम स्थानों के अंकों का योग और सम स्थानों के अंकों का योग का अंतर 11 का गुणज होना चाहिए। - संख्या: [3][x][5][4][7][9][y][4] - विषम स्थानों का योग: \( 3 + 5 + 7 + y = 15 + y \) - सम स्थानों का योग: \( x + 4 + 9 + 4 = x + 17 \) - अंतर: \( |(15 + y) - (x + 17)| = |y - x - 2| \) - यह अंतर 0 या 11 होना चाहिए। **संभावित समाधान:** - \( y = x + 2 \) \(\Rightarrow\) \( y = 4 \) तब \( x = 2 \) और \( y = 8 \) तब \( x = 6 \) - \( y = x - 9 \) केवल संभव है जब \( x = 9 \) और \( y = 0 \) अतः संभावित (x, y) संयोजन हैं: - (2, 4) - (6, 8) - (9, 0) ### दूसरा संख्या: 425139**z**2 **विभाज्यता शर्त:** 2 और 9 से विभाज्य 1. **2 से विभाज्यता:** - अंतिम अंक \( 2 \) है, जो कि 2 से विभाजित होता है। 2. **9 से विभाज्यता:** - अंकों का योग 9 का गुणज होना चाहिए। - अंकों का योग: \( 4 + 2 + 5 + 1 + 3 + 9 + z + 2 = 26 + z \) - \( 26 + z \equiv 0 \pmod{9} \implies z \equiv 1 \pmod{9} \) - अतः \( z = 1 \) ### अधिकतम मान निकालना: अब हमें \( 3x + 2y - z \) का अधिकतम मान निकालना है, जहाँ \( z = 1 \)। 1. \( (x, y) = (2, 4) \): \[ 3(2) + 2(4) - 1 = 6 + 8 - 1 = 13 \] 2. \( (x, y) = (6, 8) \): \[ 3(6) + 2(8) - 1 = 18 + 16 - 1 = 33 \] 3. \( (x, y) = (9, 0) \): \[ 3(9) + 2(0) - 1 = 27 + 0 - 1 = 26 \] **अधिकतम मान:** 33 **उत्तर:** \( 33 \)