\( \left. \begin{array} { l } { 16 ^ { 3 } \cdot 3 ^ { 3 } = x ^ { 3 } ; x = } \\ { 4 ^ { 2 } \cdot x ^ { 2 } \cdot 3 ^ { 2 } = 84 ^ { 2 } ; x = } \\ { 3 ^ { 2 } \cdot 3 ^ { 5 } \cdot 3 ^ { x } = 3 ^ { 11 } ; x = } \\ { ( x ^ { 2 } ) ^ { 5 } = 1024 ; x = } \end{array} \right. \)

A continuación se muestra la resolución paso a paso para cada uno de los ejercicios: --- ### 1) Resolver: \[ 16^{3} \cdot 3^{3} = x^{3} \] **Paso 1:** Observe que se puede escribir el lado izquierdo como: \[ 16^{3} \cdot 3^{3} = \left(16 \cdot 3\right)^3 = 48^3. \] **Paso 2:** Entonces la ecuación se transforma en: \[ x^3 = 48^3. \] **Paso 3:** Si dos números elevados al cubo son iguales, sus bases también lo son, es decir: \[ x = 48. \] --- ### 2) Resolver: \[ 4^{2} \cdot x^{2} \cdot 3^{2} = 84^{2} \] **Paso 1:** Calcule \(4^2\) y \(3^2\): \[ 4^2 = 16 \quad \text{y} \quad 3^2 = 9. \] **Paso 2:** Sustituya estos valores en la ecuación: \[ 16 \cdot 9 \cdot x^2 = 84^2. \] \[ 144 x^2 = 84^2. \] **Paso 3:** Despeje \(x^2\) dividiendo ambos lados entre 144: \[ x^2 = \frac{84^2}{144}. \] **Paso 4:** Sabiendo que \(84^2 = 7056\), tenemos: \[ x^2 = \frac{7056}{144} = 49. \] **Paso 5:** Finalmente, tomando la raíz cuadrada: \[ x = \sqrt{49} = 7. \] --- ### 3) Resolver: \[ 3^{2} \cdot 3^{5} \cdot 3^{x} = 3^{11} \] **Paso 1:** Use la propiedad de los exponentes para multiplicar bases iguales: \[ 3^{2} \cdot 3^{5} \cdot 3^{x} = 3^{2+5+x} = 3^{7+x}. \] **Paso 2:** Como las potencias de 3 son iguales, se igualan los exponentes: \[ 7 + x = 11. \] **Paso 3:** Despeje \(x\): \[ x = 11 - 7 = 4. \] --- ### 4) Resolver: \[ \left( x^{2} \right)^{5} = 1024 \] **Paso 1:** Utilice la propiedad de las potencias: \[ \left( x^{2} \right)^{5} = x^{2 \cdot 5} = x^{10}. \] **Paso 2:** Entonces la ecuación es: \[ x^{10} = 1024. \] **Paso 3:** Exprese \(1024\) como potencia de 2, ya que: \[ 1024 = 2^{10}. \] **Paso 4:** Así la ecuación se convierte en: \[ x^{10} = 2^{10}. \] **Paso 5:** Tomando la raíz décima en ambos lados: \[ x = 2. \] *(Nota: Matemáticamente, la ecuación también admite \(x = -2\) como solución, ya que \((-2)^{10} = 2^{10}\). Sin embargo, a menudo se toma la solución positiva en estos contextos a menos que se especifique lo contrario.)* --- ### Resumen de Soluciones 1. \( x = 48 \) 2. \( x = 7 \) 3. \( x = 4 \) 4. \( x = 2 \) (o \( x = -2 \) si se consideran soluciones negativas) Espero que esta explicación detallada te sea de ayuda.