14 Un satellite artificiale in orbita geostazionaria ruota intorno alla Terra restando sempre sopra lo stesso punto della superficie ter- restre. Sapendo che il raggio medio della Terra è $$ R_{T}=6,37 \cdot 10^{6} \mathrm{~m} $$ e che il satellite si trova a una quota di 36000 km sopra la superficie terrestre, trova: a. quanto tempo impiega il satellite a compiere uno spo- stamento angolare di $$ 60,0^{\circ} $$; b. la velocità e l'accelerazione centripeta del satellite.

Question

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Di seguito analizziamo il problema passo per passo.

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## Dati del problema

- Raggio medio della Terra:  
  $$
  R_{T}=6,37 \cdot 10^{6} \, \text{m}
  $$

- Quota del satellite sopra la superficie terrestre:  
  $$
  h = 36000 \, \text{km} = 3,6 \cdot 10^{7} \, \text{m}
  $$

- Il satellite è in orbita geostazionaria, per cui il periodo orbitale è:  
  $$
  T = 24 \, \text{ore} = 86400 \, \text{s}
  $$

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## Calcolo del raggio orbitale

Il raggio dell’orbita si ottiene sommando il raggio terrestre e l’altitudine del satellite:
$$
r = R_{T} + h = 6,37 \cdot 10^{6} \, \text{m} + 3,6 \cdot 10^{7} \, \text{m} = 4,237 \cdot 10^{7} \, \text{m}
$$

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## Parte (a): Tempo per uno spostamento angolare di $$60,0^\circ$$

1. Convertiamo l’angolo in radianti:  
   $$
   60,0^\circ = \frac{60,0 \pi}{180} = \frac{\pi}{3} \, \text{rad}
   $$

2. L’angolo totale compiuto in un’orbita completa è $$2\pi$$ radianti, percorsi in $$86400 \, \text{s}$$. Quindi l’angolo percorso in funzione del tempo è:
   $$
   \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{86400} \, \text{s}^{-1}
   $$

3. Il tempo necessario per percorrere un angolo $$\theta = \frac{\pi}{3}$$ è:
   $$
   \Delta t = \frac{\theta}{\omega} = \frac{\frac{\pi}{3}}{\frac{2\pi}{86400}} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{86400}{2\pi} = \frac{86400}{6} = 14400 \, \text{s}
   $$

Convertendo in ore:
$$
14400 \, \text{s} = \frac{14400}{3600} = 4 \, \text{ore}
$$

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## Parte (b): Velocità e accelerazione centripeta

### Velocità del satellite

La velocità orbitale si calcola con:
$$
v = \omega \, r
$$
dove:
$$
\omega = \frac{2\pi}{86400} \, \text{s}^{-1} \approx 7,27 \cdot 10^{-5} \, \text{s}^{-1}
$$
Quindi:
$$
v \approx 7,27 \cdot 10^{-5} \, \text{s}^{-1} \cdot 4,237 \cdot 10^{7} \, \text{m} \approx 3080 \, \text{m/s}
$$

### Accelerazione centripeta

L'accelerazione centripeta $$a_{c}$$ è data dalla formula:
$$
a_{c} = \omega^2 \, r
$$
Sostituendo i valori:
$$
\omega^2 \approx \left(7,27 \cdot 10^{-5}\right)^2 \approx 5,29 \cdot 10^{-9} \, \text{s}^{-2}
$$
Pertanto:
$$
a_{c} \approx 5,29 \cdot 10^{-9} \, \text{s}^{-2} \cdot 4,237 \cdot 10^{7} \, \text{m} \approx 0,224 \, \text{m/s}^2
$$

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## Risposte finali

a. Il tempo impiegato dal satellite per compiere uno spostamento angolare di $$60,0^\circ$$ è:
$$
\Delta t = 14400 \, \text{s} \quad (\text{ovvero 4 ore})
$$

b. La velocità orbitale del satellite è:
$$
v \approx 3080 \, \text{m/s}
$$
e l'accelerazione centripeta è:
$$
a_{c} \approx 0,224 \, \text{m/s}^2
$$
Il satellite impiega 4 ore per muoversi di $$60^\circ$$. La sua velocità orbitale è circa 3080 m/s e l'accelerazione centripeta è approssimativamente 0,224 m/s².

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