Calcula la derivada de \( f(x)=\frac{3}{x-6} \)

Para calcular la derivada de \( f(x)=\frac{3}{x-6} \), podemos utilizar la regla de la derivada de una función de la forma \( \frac{c}{u} \), donde \( c \) es una constante y \( u \) es una función de \( x \). La derivada se calcula como \( f'(x) = -\frac{c \cdot u'}{u^2} \). En este caso, \( c = 3 \) y \( u = x-6 \), entonces: 1. Primero encontramos \( u' = 1 \). 2. Luego, substituimos estos en la fórmula: \[ f'(x) = -\frac{3 \cdot 1}{(x-6)^2} = -\frac{3}{(x-6)^2}. \] ¡Y ahí tienes la derivada! Para entender mejor cómo funciona esto en la vida real, imagina que estás trabajando en la economía, en la que muchas veces nos encontramos con funciones racionales al analizar costos y precios. La derivada nos ayuda a determinar cómo estos valores cambian en relación con la producción; por ejemplo, calcular la inversión necesaria para mantener el costo variable por producto a un nivel óptimo. Conocer esta tasa de cambio es fundamental para tomar decisiones estratégicas. Si te pica la curiosidad de profundizar más en el tema, hay un montón de libros de cálculo que son geniales para explorar. Uno muy recomendado es "Cálculo" de James Stewart, que tiene un enfoque muy intuitivo y lleno de ejemplos prácticos para que no solo entiendas las derivadas, sino que también puedas visualizar su importancia en diferentes contextos. ¡Es como llevar un superpoder matemático en tu bolsillo!