Questão 5 Verifique se a seguinte função dada é solução da correspondente equação diferencial, onde A e B são constantes. $$ y=A e^{t}+B e^{2 t} $$ $$ y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0 $$ Escolha uma opção: Verdadeiro Falso

Question

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**Passo 1: Calcular as derivadas**

Dada a função  
$$
y = A e^{t} + B e^{2t}
$$  
calculamos a primeira derivada:  
$$
y' = \frac{d}{dt}(A e^{t} + B e^{2t}) = A e^{t} + 2B e^{2t}
$$

Calculamos a segunda derivada:  
$$
y'' = \frac{d}{dt}(A e^{t} + 2B e^{2t}) = A e^{t} + 4B e^{2t}
$$

---

**Passo 2: Substituir na equação diferencial**

A equação diferencial dada é:  
$$
y'' - 3y' + 2y = 0
$$

Substituímos $$ y $$, $$ y' $$ e $$ y'' $$ na equação:  
$$
y'' - 3y' + 2y = \big( A e^{t} + 4B e^{2t} \big) - 3\big( A e^{t} + 2B e^{2t} \big) + 2\big( A e^{t} + B e^{2t} \big)
$$

---

**Passo 3: Simplificar a expressão**

Expandindo os termos temos:  
$$
= A e^{t} + 4B e^{2t} - 3A e^{t} - 6B e^{2t} + 2A e^{t} + 2B e^{2t}
$$

Agora, agrupamos os termos semelhantes.

Para os termos com $$ e^{t} $$:  
$$
A - 3A + 2A = 0
$$

Para os termos com $$ e^{2t} $$:  
$$
4B - 6B + 2B = 0
$$

Assim, a expressão se reduz a:  
$$
0 \cdot e^{t} + 0 \cdot e^{2t} = 0
$$

---

**Conclusão**

A função  
$$
y = A e^{t} + B e^{2t}
$$  
satisfaz a equação diferencial  
$$
y'' - 3y' + 2y=0
$$  
para quaisquer constantes $$ A $$ e $$ B $$.

Portanto, a resposta é:  
**Verdadeiro**.
A função $$ y = A e^{t} + B e^{2t} $$ é solução da equação diferencial $$ y'' - 3y' + 2y = 0 $$.

Questão 5 Verifique se a seguinte função dada é solução da correspondente equação diferencial, onde A e B são constantes. \[ y=A e^{t}+B e^{2 t} \] \( y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0 \) Escolha uma opção: Verdadeiro Falso

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