Sin responder aún Se puntúa como 0 sobre 1,00 Realizar la siguiente suma de fracciones \( \frac{2 y}{3 y^{2}+11 y+6}+\frac{y+1}{y^{2}-9}+\frac{1}{3 y+2} \) Debes subir un video explicando el proceso realizando hay calificación

1. **Factorizar los denominadores** - En el primer denominador: \[ 3y^2 + 11y + 6 = (3y+2)(y+3) \] ya que \[ (3y+2)(y+3) = 3y^2 + 9y + 2y + 6 = 3y^2 + 11y + 6. \] - En el segundo denominador, se reconoce la diferencia de cuadrados: \[ y^2 - 9 = (y-3)(y+3). \] - El tercer denominador se mantiene: \[ 3y+2. \] 2. **Reescribir la suma de fracciones** La expresión original es: \[ \frac{2y}{3y^2+11y+6} + \frac{y+1}{y^2-9} + \frac{1}{3y+2}. \] Utilizando las factorizaciones anteriores, se escribe: \[ \frac{2y}{(3y+2)(y+3)} + \frac{y+1}{(y-3)(y+3)} + \frac{1}{3y+2}. \] 3. **Determinar el denominador común** Los factores presentes en los denominadores son: \[ (3y+2),\quad (y+3) \quad \text{y} \quad (y-3), \] por lo que el denominador común es: \[ (3y+2)(y+3)(y-3). \] 4. **Expresar cada fracción con el denominador común** - Para la primera fracción, se multiplica numerador y denominador por \((y-3)\): \[ \frac{2y}{(3y+2)(y+3)} = \frac{2y (y-3)}{(3y+2)(y+3)(y-3)}. \] - Para la segunda fracción, se multiplica numerador y denominador por \((3y+2)\): \[ \frac{y+1}{(y-3)(y+3)} = \frac{(y+1)(3y+2)}{(y-3)(y+3)(3y+2)}. \] - Para la tercera fracción, se multiplica numerador y denominador por \((y+3)(y-3)\): \[ \frac{1}{3y+2} = \frac{(y+3)(y-3)}{(3y+2)(y+3)(y-3)}. \] 5. **Sumar las fracciones** Al tener común denominador, se suman los numeradores: \[ \frac{2y(y-3) + (y+1)(3y+2) + (y+3)(y-3)}{(3y+2)(y+3)(y-3)}. \] 6. **Simplificar el numerador** Se desarrollan y simplifican los términos del numerador: - Expandir \(2y(y-3)\): \[ 2y(y-3) = 2y^2 - 6y. \] - Expandir \((y+1)(3y+2)\): \[ (y+1)(3y+2) = 3y^2 + 2y + 3y + 2 = 3y^2 + 5y + 2. \] - Expandir \((y+3)(y-3)\): \[ (y+3)(y-3) = y^2 - 9. \] Sumando: \[ 2y^2 - 6y + 3y^2 + 5y + 2 + y^2 - 9 = (2y^2 + 3y^2 + y^2) + (-6y+5y) + (2-9). \] Se obtiene: \[ 6y^2 - y - 7. \] 7. **Factorizar el numerador** Se factoriza el polinomio \(6y^2 - y - 7\). Se busca expresar: \[ 6y^2 - y - 7 = (y+1)(6y-7). \] Verificación: \[ (y+1)(6y-7) = 6y^2 - 7y + 6y - 7 = 6y^2 - y - 7. \] 8. **Expresión final** La suma de fracciones queda: \[ \frac{(y+1)(6y-7)}{(3y+2)(y+3)(y-3)}. \]