9) Un préstamo por $$ \$ 15.000 .000 $$ se paga con 4 cuotas trimestrales iguales mas los intereses. Si la tasa de interés es del $$ 7 \% $$ trimestral. Construya el diagrama económico.

Question

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Para resolver el problema del préstamo de $$ \$ 15.000.000 $$ que se paga en 4 cuotas trimestrales con una tasa de interés del $$ 7\% $$ trimestral, primero debemos entender cómo se estructuran los pagos y los intereses.

### Paso 1: Identificar los componentes del préstamo

- **Monto del préstamo (P)**: $$ 15.000.000 $$
- **Tasa de interés (r)**: $$ 7\% = 0.07 $$
- **Número de cuotas (n)**: $$ 4 $$

### Paso 2: Calcular el interés total

El interés se calcula sobre el saldo del préstamo. En este caso, dado que se trata de un préstamo amortizable, el interés se calculará sobre el saldo pendiente en cada período.

### Paso 3: Calcular la cuota trimestral

La fórmula para calcular la cuota $$ C $$ de un préstamo amortizable es:

$$
C = \frac{P \cdot r(1 + r)^n}{(1 + r)^n - 1}
$$

Donde:
- $$ P $$ es el monto del préstamo.
- $$ r $$ es la tasa de interés por período.
- $$ n $$ es el número total de pagos.

### Paso 4: Sustitución de valores

Sustituyamos los valores en la fórmula para calcular la cuota trimestral.

$$
C = \frac{15.000.000 \cdot 0.07(1 + 0.07)^4}{(1 + 0.07)^4 - 1}
$$

Ahora, procederé a calcular la cuota $$ C $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{15000000\times 0.07\left(1+0.07\right)^{4}}{\left(\left(1+0.07\right)^{4}-1\right)}$$
- step1: Remove the parentheses:
  $$\frac{15000000\times 0.07\left(1+0.07\right)^{4}}{\left(1+0.07\right)^{4}-1}$$
- step2: Add the numbers:
  $$\frac{15000000\times 0.07\times 1.07^{4}}{\left(1+0.07\right)^{4}-1}$$
- step3: Add the numbers:
  $$\frac{15000000\times 0.07\times 1.07^{4}}{1.07^{4}-1}$$
- step4: Convert the expressions:
  $$\frac{15000000\times 0.07\left(\frac{107}{100}\right)^{4}}{1.07^{4}-1}$$
- step5: Convert the expressions:
  $$\frac{15000000\times 0.07\left(\frac{107}{100}\right)^{4}}{\left(\frac{107}{100}\right)^{4}-1}$$
- step6: Multiply:
  $$\frac{1050000\times \frac{107^{4}}{100^{4}}}{\left(\frac{107}{100}\right)^{4}-1}$$
- step7: Subtract the numbers:
  $$\frac{1050000\times \frac{107^{4}}{100^{4}}}{\frac{107^{4}-100^{4}}{100^{4}}}$$
- step8: Evaluate the power:
  $$\frac{\frac{21\times 107^{4}}{2000}}{\frac{107^{4}-100^{4}}{100^{4}}}$$
- step9: Multiply by the reciprocal:
  $$\frac{21\times 107^{4}}{2000}\times \frac{100^{4}}{107^{4}-100^{4}}$$
- step10: Rewrite the expression:
  $$\frac{21\times 107^{4}}{1000\times 2}\times \frac{100^{4}}{107^{4}-100^{4}}$$
- step11: Rewrite the expression:
  $$\frac{21\times 107^{4}}{10^{3}\times 2}\times \frac{10^{8}}{107^{4}-100^{4}}$$
- step12: Reduce the numbers:
  $$\frac{21\times 107^{4}}{2}\times \frac{10^{5}}{107^{4}-100^{4}}$$
- step13: Rewrite the expression:
  $$\frac{21\times 107^{4}}{2}\times \frac{2^{5}\times 5^{5}}{107^{4}-100^{4}}$$
- step14: Reduce the numbers:
  $$21\times 107^{4}\times \frac{2^{4}\times 5^{5}}{107^{4}-100^{4}}$$
- step15: Multiply:
  $$\frac{21\times 107^{4}\times 50000}{107^{4}-100^{4}}$$
- step16: Multiply:
  $$\frac{1050000\times 107^{4}}{107^{4}-100^{4}}$$
La cuota trimestral $$ C $$ se calcula como:

$$
C \approx 4.428.421,75
$$

### Paso 5: Diagrama económico

Ahora que tenemos la cuota trimestral, podemos construir el diagrama económico. Este diagrama mostrará los flujos de efectivo en cada trimestre, incluyendo el pago de la cuota y el interés correspondiente.

#### Diagrama Económico

1. **Trimestre 0**: 
   - **Préstamo recibido**: $$ +15.000.000 $$

2. **Trimestre 1**:
   - **Interés**: $$ 15.000.000 \times 0.07 = 1.050.000 $$
   - **Cuota**: $$ -4.428.421,75 $$
   - **Flujo neto**: $$ -4.428.421,75 - 1.050.000 = -5.478.421,75 $$

3. **Trimestre 2**:
   - **Saldo pendiente**: $$ 15.000.000 - (4.428.421,75) = 10.571.578,25 $$
   - **Interés**: $$ 10.571.578,25 \times 0.07 \approx 740.010,48 $$
   - **Cuota**: $$ -4.428.421,75 $$
   - **Flujo neto**: $$ -4.428.421,75 - 740.010,48 = -5.168.432,23 $$

4. **Trimestre 3**:
   - **Saldo pendiente**: $$ 10.571.578,25 - (4.428.421,75) = 6.143.156,50 $$
   - **Interés**: $$ 6.143.156,50 \times 0.07 \approx 430.021,96 $$
   - **Cuota**: $$ -4.428.421,75 $$
   - **Flujo neto**: $$ -4.428.421,75 - 430.021,96 = -4.858.443,71 $$

5. **Trimestre 4**:
   - **Saldo pendiente**: $$ 6.143.156,50 - (4.428.421,75) = 1.714.734,75 $$
   - **Interés**: $$ 1.714.734,75 \times 0.07 \approx 120.031,43 $$
   - **Cuota**: $$ -4.428.421,75 $$
   - **Flujo neto**: $$ -4.428.421,75 - 120.031,43 = -4.548.453,18 $$

### Resumen del Diagrama Económico

- **Trimestre 0**: $$ +15.000.000 $$
- **Trimestre 1**: $$ -5.478.421,75 $$
- **Trimestre 2**: $$ -5.168.432,23 $$
- **Trimestre 3**: $$ -4.858.443,71 $$
- **Trimestre 4**: $$ -4.548.453,18 $$

Este diagrama muestra cómo se distribuyen los pagos y los intereses a lo largo de los trimestres.
Para un préstamo de \$15,000,000 pagado en 4 cuotas trimestrales con una tasa de interés del 7% trimestral, la cuota trimestral es de aproximadamente \$4,428,421.75. El diagrama económico muestra los pagos y los intereses en cada trimestre, reduciendo gradualmente el saldo pendiente hasta la cuota final.

9) Un préstamo por \( \$ 15.000 .000 \) se paga con 4 cuotas trimestrales iguales mas los intereses. Si la tasa de interés es del \( 7 \% \) trimestral. Construya el diagrama económico.

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