Question
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Answer
\( x = 3 \) ou \( x = -3 \).
Solution
**Passo 1:**
Observe que uma potência da forma \( a^k \) é igual a 1 se, e somente se, \( k = 0 \) (levando em conta que \( a \) é um número real positivo diferente de 1). No caso, temos:
\[
7^{x^{2} - 9} = 1
\]
Como \( 7 \neq 1 \), concluímos que:
\[
x^{2} - 9 = 0
\]
**Passo 2:**
Resolvendo a equação:
\[
x^{2} - 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^{2} = 9
\]
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados, considerando as duas possibilidades (positiva e negativa):
\[
x = 3 \quad \text{ou} \quad x = -3
\]
**Resposta final:**
\( x = 3 \) ou \( x = -3 \).
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Bonus Knowledge
To solve the equation \( 7^{x^{2}-9}=1 \), we recognize that any number raised to the power of 0 is equal to 1. Therefore, we can set the exponent equal to 0: \[ x^{2} - 9 = 0 \] Solving this gives: \[ x^{2} = 9 \] Taking the square root of both sides yields: \[ x = 3 \quad \text{or} \quad x = -3 \] Now we have two solutions: \( x=3 \) and \( x=-3 \). In summary, the solutions to the equation \( 7^{x^{2}-9}=1 \) are \( x = 3 \) and \( x = -3 \).