5 La plaque d'immatriculation d'une voiture comporte quatre chiffres entre 0 et 9 suivi de deux lettres sauf les lettres O, I et D. Les chiffres d'immatriculation ne commencent pas par 0 . 1. Détermine le nombre de plaques d'immatriculation possibles. 2. Détermine le nombre de plaques d'immatriculation comportant deux lettres distinctes. 3. Détermine le nombre de plaques d'immatriculation comportant quatre chiffres distincts.

1. Pour les chiffres, la plaque commence par un chiffre entre 1 et 9 (donc 9 possibilités), suivi de trois chiffres qui peuvent être 0 à 9 (donc 10 possibilités chacun). On a donc pour les chiffres : \[ 9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9000. \] Pour les lettres, on utilise les lettres de l’alphabet à l’exception de \(O\), \(I\) et \(D\), ce qui fait \(26-3=23\) lettres. Les deux lettres s’essayant sont donc choisies parmi 23 possibilités chacune : \[ 23 \times 23 = 23^2. \] Le nombre total de plaques possibles est alors : \[ 9000 \times 23^2 = 9000 \times 529 = 4\,761\,000. \] 2. Dans le cas où les deux lettres doivent être distinctes, pour les chiffres on a toujours : \[ 9000. \] Pour les lettres, le premier caractère est choisi parmi 23 lettres et le second parmi les 22 restantes : \[ 23 \times 22. \] Le nombre total de plaques avec deux lettres distinctes est donc : \[ 9000 \times (23 \times 22) = 9000 \times 506 = 4\,554\,000. \] 3. Pour que les 4 chiffres soient distincts, on doit tenir compte que le premier chiffre (qui ne peut être 0) a 9 possibilités. Pour le deuxième chiffre, on a alors 9 possibilités (les 10 chiffres moins celui déjà utilisé), pour le troisième 8 possibilités, et pour le quatrième 7 possibilités : \[ 9 \times 9 \times 8 \times 7. \] Les lettres restent quant à elles choisies parmi \(23^2\) possibilités. Le nombre total de plaques avec quatre chiffres distincts est donc : \[ (9 \times 9 \times 8 \times 7) \times 23^2. \] Calculons d’abord le nombre de configurations pour les chiffres : \[ 9 \times 9 = 81,\quad 81 \times 8 = 648,\quad 648 \times 7 = 4536. \] Puis, pour l’ensemble de la plaque : \[ 4536 \times 529 = 2\,399\,544. \]