5 La plaque d'immatriculation d'une voiture comporte quatre chiffres entre 0 et 9 suivi de deux lettres sauf les lettres O, I et D. Les chiffres d'immatriculation ne commencent pas par 0 . 1. Détermine le nombre de plaques d'immatriculation possibles. 2. Détermine le nombre de plaques d'immatriculation comportant deux lettres distinctes. 3. Détermine le nombre de plaques d'immatriculation comportant quatre chiffres distincts.

Question

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1. Pour les chiffres, la plaque commence par un chiffre entre 1 et 9 (donc 9 possibilités), suivi de trois chiffres qui peuvent être 0 à 9 (donc 10 possibilités chacun). On a donc pour les chiffres :
$$
9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9000.
$$
Pour les lettres, on utilise les lettres de l’alphabet à l’exception de $$O$$, $$I$$ et $$D$$, ce qui fait $$26-3=23$$ lettres. Les deux lettres s’essayant sont donc choisies parmi 23 possibilités chacune :
$$
23 \times 23 = 23^2.
$$
Le nombre total de plaques possibles est alors :
$$
9000 \times 23^2 = 9000 \times 529 = 4\,761\,000.
$$

2. Dans le cas où les deux lettres doivent être distinctes, pour les chiffres on a toujours :
$$
9000.
$$
Pour les lettres, le premier caractère est choisi parmi 23 lettres et le second parmi les 22 restantes :
$$
23 \times 22.
$$
Le nombre total de plaques avec deux lettres distinctes est donc :
$$
9000 \times (23 \times 22) = 9000 \times 506 = 4\,554\,000.
$$

3. Pour que les 4 chiffres soient distincts, on doit tenir compte que le premier chiffre (qui ne peut être 0) a 9 possibilités. Pour le deuxième chiffre, on a alors 9 possibilités (les 10 chiffres moins celui déjà utilisé), pour le troisième 8 possibilités, et pour le quatrième 7 possibilités :
$$
9 \times 9 \times 8 \times 7.
$$
Les lettres restent quant à elles choisies parmi $$23^2$$ possibilités. Le nombre total de plaques avec quatre chiffres distincts est donc :
$$
(9 \times 9 \times 8 \times 7) \times 23^2.
$$
Calculons d’abord le nombre de configurations pour les chiffres :
$$
9 \times 9 = 81,\quad 81 \times 8 = 648,\quad 648 \times 7 = 4536.
$$
Puis, pour l’ensemble de la plaque :
$$
4536 \times 529 = 2\,399\,544.
$$
1. Il y a 4 761 000 plaques d'immatriculation possibles. 2. Il y a 4 554 000 plaques avec deux lettres distinctes. 3. Il y a 2 399 544 plaques avec quatre chiffres distincts.

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