\( x^{2}+y^{2}+2 x-4 y-20=0 \) is the equation of a circle. Two lines, \( L \) and \( M \), intersect at \( (2,-2) \). The distance from the center of the circle to each line is \( 2 \sqrt{5} \). Find the equation of \( L \) and the equa- tion of \( M \).

Consideriamo l’equazione del cerchio   x² + y² + 2x – 4y – 20 = 0. Per determinarne il centro e il raggio completiamo i quadrati: 1. Raggruppiamo i termini in x e in y:   (x² + 2x) + (y² – 4y) = 20. 2. Completiamo i quadrati:   x² + 2x = (x + 1)² – 1   y² – 4y = (y – 2)² – 4. Quindi l’equazione diventa   (x + 1)² + (y – 2)² – 1 – 4 = 20   (x + 1)² + (y – 2)² = 25. Il cerchio ha quindi centro C(–1, 2) e raggio r = 5. Sappiamo inoltre che due rette L e M si intersecano nel punto P(2, –2) e ciascuna di esse dista 2√5 dal centro C. Troviamo le rette cercando il coefficiente angolare m tale che la retta passante per P abbia distanza 2√5 dal punto C. Sia la retta in forma punto-pendenza:   y + 2 = m (x – 2). Riscriviamola in forma implicita (forma ax + by + c = 0):   y + 2 = m(x – 2) ⟹ mx – 2m – y – 2 = 0. Pertanto, l’equazione della retta è:   mx – y – (2m + 2) = 0. Il teorema della distanza del punto dal piano ci dice che la distanza d fra C(–1, 2) e questa retta è   d = |a(–1) + b(2) + c| / √(a² + b²)     = |m(–1) – 1·(2) – (2m + 2)| / √(m² + 1). Calcoliamo il numeratore:   m(–1) – 2 – 2m – 2 = –m – 2m – 2 – 2 = –3m – 4. La distanza quindi è   |–3m – 4| / √(m² + 1) = 2√5. Eliminiamo il valore assoluto (notiamo che il segno non influisce perché equazioniamo il valore assoluto) e eleviamo al quadrato per ottenere   (3m + 4)² / (m² + 1) = (2√5)² = 20. Moltiplichiamo entrambi i membri per (m² + 1):   (3m + 4)² = 20(m² + 1). Sviluppiamo il lato sinistro:   9m² + 24m + 16 = 20m² + 20. Spostiamo tutto al lato sinistro:   9m² + 24m + 16 – 20m² – 20 = 0   –11m² + 24m – 4 = 0   11m² – 24m + 4 = 0. Questa equazione quadratica in m ha soluzione data dalla formula risolutiva:   m = [24 ± √(24² – 4·11·4)] / (2·11). Calcoliamo il discriminante:   Δ = 576 – 176 = 400. Quindi   m = [24 ± 20] / 22. Otteniamo così due soluzioni:   m₁ = (24 + 20) / 22 = 44/22 = 2,   m₂ = (24 – 20) / 22 = 4/22 = 2/11. Abbiamo dunque due rette con pendenze m = 2 e m = 2/11. Ora scriviamo le equazioni delle rette passando per il punto P(2, –2). 1. Per m = 2:   y + 2 = 2(x – 2)   ⟹ y + 2 = 2x – 4   ⟹ y = 2x – 6. 2. Per m = 2/11:   y + 2 = (2/11)(x – 2)   ⟹ y = (2/11)(x – 2) – 2     = (2/11)x – (4/11) – 2     = (2/11)x – (4 + 22)/11     = (2/11)x – (26/11). Riassumendo:   Linea L: y = 2x – 6   Linea M: y = (2/11)x – (26/11). Verifica rapida della distanza (ad esempio per la retta L): La retta L in forma implicita è 2x – y – 6 = 0. La distanza dal punto C(–1, 2) è   d = |2(–1) – 2 – 6| / √(2² + (–1)²) = | –2 – 2 – 6| / √5 = 10 / √5 = 2√5, come richiesto. Quindi, le equazioni delle due rette sono quelle trovate. Risposta finale in italiano: La retta L ha equazione y = 2x – 6 La retta M ha equazione y = (2/11)x – (26/11).