6. Encuentra los valores de las incógnitas \( x, y \). a) \( \left(\begin{array}{ll}6 & x \\ 1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}y & 2 \\ -1 & -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8 & 16 \\ 1 & 2\end{array}\right) \) \( x= \) b) \( \left(\begin{array}{cc}3 & 1 \\ x & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ y & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-4 & 8 \\ 1 & -2\end{array}\right) \) (

**a) Resolver el sistema de ecuaciones para \( x \) y \( y \):** Dado que \[ A = \begin{pmatrix}6 & x \\ 1 & 0\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}y & 2 \\ -1 & -2\end{pmatrix}, \quad A \cdot B = \begin{pmatrix}8 & 16 \\ 1 & 2\end{pmatrix}. \] Calculamos el producto \( A \cdot B \): - Elemento \((1,1)\): \[ 6 \cdot y + x \cdot (-1) = 6y - x. \] Debemos tener \[ 6y - x = 8. \] - Elemento \((1,2)\): \[ 6 \cdot 2 + x \cdot (-2) = 12 - 2x. \] Entonces \[ 12 - 2x = 16. \] - Elemento \((2,1)\): \[ 1 \cdot y + 0 \cdot (-1) = y. \] Por lo que \[ y = 1. \] - Elemento \((2,2)\): \[ 1 \cdot 2 + 0 \cdot (-2) = 2, \] que es coherente con la matriz resultado. Ahora resolvemos las ecuaciones: 1) De la ecuación del elemento \((1,2)\): \[ 12 - 2x = 16 \quad \Rightarrow \quad -2x = 16 - 12 \quad \Rightarrow \quad -2x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = -2. \] 2) Ya sabemos que \[ y = 1. \] Verificación en la ecuación del elemento \((1,1)\): \[ 6(1) - (-2) = 6 + 2 = 8, \] lo que es correcto. **Respuesta a)**: \( x = -2 \) y \( y = 1 \). --- **b) Resolver el sistema de ecuaciones para \( x \) y \( y \):** Dado que \[ C = \begin{pmatrix}3 & 1 \\ x & -1\end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix}-1 & 2 \\ y & 2\end{pmatrix}, \quad C \cdot D = \begin{pmatrix}-4 & 8 \\ 1 & -2\end{pmatrix}. \] Calculamos el producto \( C \cdot D \): - Elemento \((1,1)\): \[ 3 \cdot (-1) + 1 \cdot y = -3 + y. \] Entonces \[ -3 + y = -4 \quad \Rightarrow \quad y = -4 + 3 = -1. \] - Elemento \((1,2)\): \[ 3 \cdot 2 + 1 \cdot 2 = 6 + 2 = 8. \] Esta ecuación se satisface. - Elemento \((2,1)\): \[ x \cdot (-1) + (-1) \cdot y = -x - y. \] Debe cumplirse que \[ -x - y = 1 \quad \Rightarrow \quad x + y = -1. \] - Elemento \((2,2)\): \[ x \cdot 2 + (-1) \cdot 2 = 2x - 2. \] Se requiere que \[ 2x - 2 = -2 \quad \Rightarrow \quad 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0. \] Sustituimos \( x = 0 \) en la ecuación \( x + y = -1 \): \[ 0 + y = -1 \quad \Rightarrow \quad y = -1, \] lo cual concuerda con el valor hallado anteriormente. **Respuesta b)**: \( x = 0 \) y \( y = -1 \).