Demostrar $$ a^{2} b^{2}+a^{2} c^{2}+b^{2} c^{2} \geq a b c(a+b+c) \mathbb{R}^{+} $$

Question

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Para demostrar la desigualdad $$ a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2} \geq a b c (a + b + c) $$ para $$ a, b, c \in \mathbb{R}^{+} $$, utilizaremos la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

### Paso 1: Aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz

La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que:

$$
(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)(y_1^2 + y_2^2 + y_3^2) \geq (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3)^2
$$

Podemos elegir $$ x_1 = ab, x_2 = ac, x_3 = bc $$ y $$ y_1 = a, y_2 = b, y_3 = c $$.

### Paso 2: Aplicar la elección

Entonces, tenemos:

$$
(ab)^2 + (ac)^2 + (bc)^2 = a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2
$$

y

$$
a^2 + b^2 + c^2
$$

Por lo tanto, aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz:

$$
(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)(a^2 + b^2 + c^2) \geq (ab \cdot a + ac \cdot b + bc \cdot c)^2
$$

### Paso 3: Simplificar el lado derecho

El lado derecho se simplifica a:

$$
(ab \cdot a + ac \cdot b + bc \cdot c) = a^2bc + ab^2c + abc^2 = abc(a + b + c)
$$

### Paso 4: Conclusión

Por lo tanto, tenemos:

$$
(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)(a^2 + b^2 + c^2) \geq (abc(a + b + c))^2
$$

Dado que $$ a^2 + b^2 + c^2 \geq 3abc $$ (por la desigualdad de AM-GM), podemos concluir que:

$$
a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2 \geq abc(a + b + c)
$$

Esto completa la demostración de la desigualdad.
Para demostrar que $$ a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2} \geq a b c (a + b + c) $$ para números reales positivos $$ a, b, c $$, se utiliza la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Al aplicarla adecuadamente, se llega a la conclusión que la desigualdad es cierta. simplify answer: La desigualdad $$ a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2} \geq a b c (a + b + c) $$ se cumple para $$ a, b, c > 0 $$ gracias a la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

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