5. Suponga que, en un grupo de alumnos, se van a seleccionar 3 con el fin de observar, si trabajan(A) o no trabajan (B). A. Determina el espacio muestral. B. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún alumno trabaje? C. ¿Cómo definirías el suceso cuyos elementos muestrales son: \( \{(A A B),(A B A),(B A A)\} \) D. ¿Cuál es la probabilidad de que dos alumnos trabaien y el otro no?

Para resolver el problema, sigamos los pasos indicados: ### A. Determina el espacio muestral. El espacio muestral se refiere a todas las combinaciones posibles de resultados al seleccionar 3 alumnos, donde cada alumno puede estar en dos estados: trabaja (A) o no trabaja (B). Dado que hay 3 alumnos y cada uno puede estar en uno de los dos estados, el número total de combinaciones es \(2^3\). Las combinaciones son: 1. \(AAA\) (los 3 trabajan) 2. \(AAB\) (2 trabajan, 1 no trabaja) 3. \(ABA\) (2 trabajan, 1 no trabaja) 4. \(BAA\) (2 trabajan, 1 no trabaja) 5. \(ABB\) (1 trabaja, 2 no trabajan) 6. \(BAB\) (1 trabaja, 2 no trabajan) 7. \(BBA\) (1 trabaja, 2 no trabajan) 8. \(BBB\) (ninguno trabaja) Por lo tanto, el espacio muestral es: \[ S = \{AAA, AAB, ABA, BAA, ABB, BAB, BBA, BBB\} \] ### B. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún alumno trabaje? El evento en el que ningún alumno trabaja corresponde a la combinación \(BBB\). La probabilidad de que ningún alumno trabaje se calcula como el número de resultados favorables dividido por el número total de resultados en el espacio muestral: \[ P(BBB) = \frac{\text{número de resultados favorables}}{\text{número total de resultados}} = \frac{1}{8} \] ### C. ¿Cómo definirías el suceso cuyos elementos muestrales son: \( \{(A A B),(A B A),(B A A)\} \)? El suceso que contiene los elementos \( \{(A A B),(A B A),(B A A)\} \) se puede definir como el evento en el que exactamente 2 alumnos trabajan y 1 no trabaja. Este evento se puede denotar como \(E\): \[ E = \{(A A B), (A B A), (B A A)\} \] ### D. ¿Cuál es la probabilidad de que dos alumnos trabajen y el otro no? El evento en el que exactamente 2 alumnos trabajan y 1 no trabaja tiene 3 combinaciones posibles: \(AAB\), \(ABA\), y \(BAA\). La probabilidad de que 2 alumnos trabajen y 1 no trabaja se calcula de la siguiente manera: \[ P(E) = \frac{\text{número de resultados favorables}}{\text{número total de resultados}} = \frac{3}{8} \] ### Resumen de respuestas: A. \(S = \{AAA, AAB, ABA, BAA, ABB, BAB, BBA, BBB\}\) B. \(P(BBB) = \frac{1}{8}\) C. \(E = \{(A A B), (A B A), (B A A)\}\) D. \(P(E) = \frac{3}{8}\)