bordospl41-02 97 Soit deux points A et B . 1. Construire les points M et N tels que : \[ \overrightarrow{\mathrm{BM}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}} \text { et } \overrightarrow{\mathrm{BN}}=3 \overrightarrow{\mathrm{BA}} . \] 2. Quels sont les réels \( a, b \) et \( c \) tels que : \( \overrightarrow{\mathrm{AM}}=a \overrightarrow{\mathrm{AB}}, \quad \overrightarrow{\mathrm{MN}}=b \overrightarrow{\mathrm{AB}} \quad \) et \( \overrightarrow{\mathrm{AN}}=c \overrightarrow{\mathrm{AB}} \) ?
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Pour résoudre ce problème, commençons par analyser ce que nous devons construire pour les points \( M \) et \( N \) en fonction de \( A \) et \( B \). 1. Pour le point \( M \), nous avons \( \overrightarrow{\mathrm{BM}} = \overrightarrow{\mathrm{AB}} \). Cela signifie que \( M \) est situé à une distance égale à \( AB \) dans la direction de \( A \). En d'autres termes, \( M \) peut être trouvé en déplaçant \( B \) vers \( A \). Si nous posons \( \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \mathbf{b} - \mathbf{a} \), alors \( \overrightarrow{\mathrm{BM}} = \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \mathbf{b} - \mathbf{a} \), donc \( \mathbf{m} = \mathbf{b} + (\mathbf{b} - \mathbf{a}) = 2\mathbf{b} - \mathbf{a} \). Pour le point \( N \), \( \overrightarrow{\mathrm{BN}} = 3 \overrightarrow{\mathrm{BA}} \) signifie que nous devons aller dans la direction opposée à celle de \( A \) à partir de \( B \) trois fois la distance \( AB \). Ainsi, \( \overrightarrow{\mathrm{BN}} = 3(\mathbf{b} - \mathbf{a}) \), alors \( \mathbf{n} = \mathbf{b} + 3(\mathbf{b} - \mathbf{a}) = 4\mathbf{b} - 3\mathbf{a} \). 2. Maintenant, déterminons les réels \( a, b, \) et \( c \). - Pour \( \overrightarrow{\mathrm{AM}} = a \overrightarrow{\mathrm{AB}} \) : \[ \overrightarrow{\mathrm{AM}} = \mathbf{m} - \mathbf{a} = (2\mathbf{b} - \mathbf{a}) - \mathbf{a} = 2\mathbf{b} - 2\mathbf{a} = 2(\mathbf{b} - \mathbf{a}) \implies a = 2. \] - Pour \( \overrightarrow{\mathrm{MN}} = b \overrightarrow{\mathrm{AB}} \) : \[ \overrightarrow{\mathrm{MN}} = \mathbf{n} - \mathbf{m} = (4\mathbf{b} - 3\mathbf{a}) - (2\mathbf{b} - \mathbf{a}) = (4\mathbf{b} - 2\mathbf{b}) + (-3\mathbf{a} + \mathbf{a}) = 2\mathbf{b} - 2\mathbf{a} = 2(\mathbf{b} - \mathbf{a}) \implies b = 2. \] - Pour \( \overrightarrow{\mathrm{AN}} = c \overrightarrow{\mathrm{AB}} \) : \[ \overrightarrow{\mathrm{AN}} = \mathbf{n} - \mathbf{a} = (4\mathbf{b} - 3\mathbf{a}) - \mathbf{a} = 4\mathbf{b} - 4\mathbf{a} = 4(\mathbf{b} - \mathbf{a}) \implies c = 4. \] En résumé, \( a = 2, b = 2 \) et \( c = 4 \).
