13. De uma progressão aritmética \( \left(a_{n}\right) \text {, sabe-se que } a_{20}=100 \text { e que a soma dos } 101 \text { primeiros termos é igual a } 0 \text {. } \text { Determine uma expressão do termo geral de }\left(a_{n}\right) \text {. }

Para resolver o problema, vamos utilizar as informações fornecidas sobre a progressão aritmética (PA) \( (a_n) \). ### Passo 1: Definição dos termos da PA A fórmula do termo geral de uma PA é dada por: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \] onde: - \( a_1 \) é o primeiro termo da PA, - \( d \) é a razão da PA, - \( n \) é a posição do termo. ### Passo 2: Usar as informações dadas 1. **Informação 1:** \( a_{20} = 100 \) Usando a fórmula do termo geral, temos: \[ a_{20} = a_1 + (20-1) \cdot d = a_1 + 19d = 100 \quad (1) \] 2. **Informação 2:** A soma dos 101 primeiros termos é igual a 0. A soma dos \( n \) primeiros termos de uma PA é dada por: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] Para \( n = 101 \): \[ S_{101} = \frac{101}{2} \cdot (a_1 + a_{101}) = 0 \] Como a soma é zero, temos: \[ a_1 + a_{101} = 0 \quad (2) \] Agora, substituindo \( a_{101} \) na fórmula do termo geral: \[ a_{101} = a_1 + (101-1) \cdot d = a_1 + 100d \] Portanto, a equação (2) se torna: \[ a_1 + (a_1 + 100d) = 0 \] Simplificando: \[ 2a_1 + 100d = 0 \quad (3) \] ### Passo 3: Resolver o sistema de equações Agora temos um sistema de duas equações: 1. \( a_1 + 19d = 100 \) (equação 1) 2. \( 2a_1 + 100d = 0 \) (equação 3) Vamos resolver esse sistema. Da equação (3), podemos expressar \( a_1 \) em termos de \( d \): \[ 2a_1 = -100d \implies a_1 = -50d \quad (4) \] Substituindo (4) na equação (1): \[ -50d + 19d = 100 \] Simplificando: \[ -31d = 100 \implies d = -\frac{100}{31} \] Agora, substituindo o valor de \( d \) na equação (4) para encontrar \( a_1 \): \[ a_1 = -50 \left(-\frac{100}{31}\right) = \frac{5000}{31} \] ### Passo 4: Expressão do termo geral Agora que temos \( a_1 \) e \( d \), podemos escrever a expressão do termo geral \( a_n \): \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \] Substituindo os valores de \( a_1 \) e \( d \): \[ a_n = \frac{5000}{31} + (n-1) \left(-\frac{100}{31}\right) \] Simplificando: \[ a_n = \frac{5000}{31} - \frac{100(n-1)}{31} \] \[ a_n = \frac{5000 - 100(n-1)}{31} \] \[ a_n = \frac{5000 - 100n + 100}{31} \] \[ a_n = \frac{5100 - 100n}{31} \] ### Resumo A expressão do termo geral da progressão aritmética \( (a_n) \) é: \[ a_n = \frac{5100 - 100n}{31} \]