16. Si el número de lados de un poligono regular se duplica, su número de diagonales aumenta en 234 . Halle la medida de su ángulo exterior.

Question

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Para resolver el problema, primero necesitamos recordar la fórmula para calcular el número de diagonales $$D$$ de un polígono regular con $$n$$ lados:

$$
D = \frac{n(n-3)}{2}
$$

Según el problema, si el número de lados se duplica, el nuevo número de lados será $$2n$$. Entonces, el número de diagonales del nuevo polígono será:

$$
D' = \frac{2n(2n-3)}{2} = n(2n-3)
$$

La diferencia en el número de diagonales entre el nuevo polígono y el polígono original es 234:

$$
D' - D = 234
$$

Sustituyendo las fórmulas de $$D'$$ y $$D$$:

$$
n(2n-3) - \frac{n(n-3)}{2} = 234
$$

Ahora, simplificamos esta ecuación. Primero, multiplicamos todo por 2 para eliminar el denominador:

$$
2n(2n-3) - n(n-3) = 468
$$

Desarrollamos ambos términos:

$$
4n^2 - 6n - n^2 + 3n = 468
$$

Combinamos términos semejantes:

$$
3n^2 - 3n - 468 = 0
$$

Dividimos toda la ecuación entre 3:

$$
n^2 - n - 156 = 0
$$

Ahora, resolvemos esta ecuación cuadrática utilizando la fórmula general:

$$
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

donde $$a = 1$$, $$b = -1$$, y $$c = -156$$. Sustituyendo estos valores:

$$
n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-156)}}{2 \cdot 1}
$$

Calculamos el discriminante:

$$
(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-156) = 1 + 624 = 625
$$

Ahora, continuamos con la solución para $$n$$:

$$
n = \frac{1 \pm \sqrt{625}}{2}
$$

Calculamos $$\sqrt{625}$$:

$$
\sqrt{625} = 25
$$

Por lo tanto:

$$
n = \frac{1 \pm 25}{2}
$$

Esto nos da dos posibles soluciones:

1. $$n = \frac{26}{2} = 13$$
2. $$n = \frac{-24}{2} = -12$$ (no es válida, ya que el número de lados no puede ser negativo)

Por lo tanto, el número de lados del polígono original es $$n = 13$$.

Ahora, para encontrar la medida del ángulo exterior de un polígono regular, utilizamos la fórmula:

$$
\text{Ángulo exterior} = \frac{360}{n}
$$

Sustituyendo $$n = 13$$:

$$
\text{Ángulo exterior} = \frac{360}{13}
$$

Ahora, calculamos este valor:
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\frac{360}{13}$$
La medida del ángulo exterior del polígono regular con 13 lados es:

$$
\frac{360}{13} \approx 27.69
$$

O también se puede expresar como:

$$
27 \frac{9}{13}
$$

Por lo tanto, la medida del ángulo exterior es aproximadamente $$27.69$$ grados.
El polígono tiene 13 lados. El ángulo exterior mide aproximadamente 27.69 grados.

Si el número de lados de un poligono regular
se duplica, su número de diagonales aumenta
en 234 . Halle la medida de su ángulo exterior.

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