2. Utilice las reglas de derivación para derivar las siguientes funciones: \( \begin{array}{l}f(x)=x^{5}+5 x^{4}-10 x^{2}+6 \\ f(x)=\sqrt{\frac{x^{2}-3}{2 x+1}} \\ f(x)=\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1} \\ f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}} \\ f(x)=\left(3 x^{2}+1\right) \sqrt{1-x^{2}} \\ f(x)=\sin \left(2 x^{3}+1\right)\end{array} \)

Para derivar estas funciones, emplearemos diversas reglas de derivación como la regla de la suma, la regla del producto, la regla del cociente, la regla de la cadena y las derivadas de funciones básicas. 1. Para \( f(x) = x^5 + 5x^4 - 10x^2 + 6 \), la derivada es: \( f'(x) = 5x^4 + 20x^3 - 20x \). 2. Para \( f(x) = \sqrt{\frac{x^{2}-3}{2x+1}} \), aplicamos la regla de la cadena: \( f'(x) = \frac{(2x)(2x + 1) - (x^2 - 3)(2)}{2(2x + 1)^2 \sqrt{\frac{x^2 - 3}{2x + 1}}} \). 3. Para \( f(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1} \), utilizamos la regla del cociente: \( f'(x) = \frac{(e^x)(e^x + 1) - (e^x - 1)(e^x)}{(e^x + 1)^2} \). 4. Para \( f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \), de nuevo, aplicamos la regla del cociente: \( f'(x) = \frac{\sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} - \ln x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{1 - \frac{\ln x}{2}}{x\sqrt{x}} \). 5. Para \( f(x) = (3x^2 + 1)\sqrt{1 - x^2} \), empleamos la regla del producto: \( f'(x) = (6x)\sqrt{1 - x^2} + (3x^2 + 1)(-\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}) \). 6. Para \( f(x) = \sin(2x^3 + 1) \), usamos la regla de la cadena: \( f'(x) = \cos(2x^3 + 1) \cdot (6x^2) \). ¡Listo! Con esto tienes las derivadas de todas las funciones solicitadas, cada una lista para brillar con su propio conjunto de propiedades matemáticas.