El número de manzanas que produce cada árbol en una huerta depende de la densidad de árboles plantados. Si se plantan \( n \) árboles en un terreno determinado, entonces cada árbol produce \( 900-9 n \) manzanas. a) ¿Cuántos árboles deben plantarse en el terreno para obtener una producción máxima de manzanas? b) ¿Cuál es la cantidad máxima de manzanas que pueden producirse?

Para maximizar la producción de manzanas, primero debemos encontrar el valor de \( n \) que maximiza la producción total. La producción total de manzanas \( P \) se puede expresar como: \[ P(n) = n(900 - 9n) = 900n - 9n^2 \] Esta es una función cuadrática que abre hacia abajo (debido al coeficiente negativo de \( n^2 \)). Para encontrar el valor de \( n \) que maximiza la producción, usamos la fórmula del vértice \( n = -\frac{b}{2a} \), donde \( a = -9 \) y \( b = 900 \): \[ n = -\frac{900}{2 \cdot -9} = \frac{900}{18} = 50 \] Por lo tanto, deben plantarse **50 árboles** para obtener la producción máxima. Ahora, para encontrar la cantidad máxima de manzanas producidas, sustituimos \( n = 50 \) en la función de producción: \[ P(50) = 50(900 - 9 \cdot 50) = 50(900 - 450) = 50 \cdot 450 = 22500 \] Así que la cantidad máxima de manzanas que pueden producirse es **22,500 manzanas**.