Exercice 1: 1)a) Définir une fonction $$ f $$ en escalier sur un intervalle $$ l $$. Soit f une fonction en escalier sur $$ \mathrm{I}, \sigma=\left(a_{k}\right) 0 \leq \mathrm{k} \leq n $$ une subdivision adapté de I à f . b) Ecrire la somme des aires de rectangles $$ \mathrm{S}(f, \sigma) $$. 2) Soit f une fonction bornée sur I. a) Ecrire les deux sommes de Darboux. Donner un encadrement de ces deux sommes. Dans quel cas la fonction $$ f $$ est Riemann-intégrable? 3) faire une démonstration de ces propositions : a) Une fonction bornée fest Riemann intégrable sur un intervalle $$ I=[a ; b] $$ si et seulement si, pour tout $$ \varepsilon0 $$, il existe une subdivision $$ \sigma $$ de I telle que $$ \mathbf{S}(f, \sigma)-\mathbf{s}(\mathbf{f}, \sigma)

Question

Exercice 1: 1)a) Définir une fonction $$ f $$ en escalier sur un intervalle $$ l $$. Soit f une fonction en escalier sur $$ \mathrm{I}, \sigma=\left(a_{k}\right) 0 \leq \mathrm{k} \leq n $$ une subdivision adapté de I à f . b) Ecrire la somme des aires de rectangles $$ \mathrm{S}(f, \sigma) $$. 2) Soit f une fonction bornée sur I. a) Ecrire les deux sommes de Darboux. Donner un encadrement de ces deux sommes. Dans quel cas la fonction $$ f $$ est Riemann-intégrable? 3) faire une démonstration de ces propositions : a) Une fonction bornée fest Riemann intégrable sur un intervalle $$ I=[a ; b] $$ si et seulement si, pour tout $$ \varepsilon>0 $$, il existe une subdivision $$ \sigma $$ de I telle que $$ \mathbf{S}(f, \sigma)-\mathbf{s}(\mathbf{f}, \sigma)<\varepsilon $$. b) Soit $$ I=[a, b] $$ un intervalle, $$ f $$ une fonction monotone sur I. Alors $$ f $$ est Riemann-intégrable sur $$ I $$. c) soient $$ \mathrm{I}=[\mathrm{a}, \mathrm{b}] $$ un intervalle borné, $$ \mathrm{f}, \mathrm{g} $$ des fonctions bornées et Riemann intégrables sur I ; on suppose que $$ \mathrm{g} \geq 0 $$.

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### Exercice 1 #### 1)a) Définir une fonction $$ f $$ en escalier sur un intervalle $$ I $$. Une fonction $$ f $$ est dite en escalier sur un intervalle $$ I = [a, b] $$ si elle est définie par morceaux constants sur des sous-intervalles de $$ I $$. Plus précisément, on peut écrire : $$ f(x) = c_k \quad \text{pour } x \in [a_k, a_{k+1}) \quad \text{avec } k = 0, 1, \ldots, n-1 $$ où $$ \sigma = (a_k)_{0 \leq k \leq n} $$ est une subdivision de $$ I $$ telle que $$ a_0 = a $$ et $$ a_n = b $$, et $$ c_k $$ est une constante associée à chaque sous-intervalle $$ [a_k, a_{k+1}) $$. #### 1)b) Écrire la somme des aires de rectangles $$ S(f, \sigma) $$. La somme des aires de rectangles $$ S(f, \sigma) $$ pour la fonction $$ f $$ en escalier est donnée par : $$ S(f, \sigma) = \sum_{k=0}^{n-1} c_k \cdot (a_{k+1} - a_k) $$ où $$ c_k $$ est la valeur de la fonction sur l'intervalle $$ [a_k, a_{k+1}) $$ et $$ (a_{k+1} - a_k) $$ est la largeur de chaque sous-intervalle. #### 2) Soit $$ f $$ une fonction bornée sur $$ I $$. #### 2)a) Écrire les deux sommes de Darboux. Donner un encadrement de ces deux sommes. Les sommes de Darboux sont définies comme suit : - La somme inférieure de Darboux $$ S(f, \sigma) $$ est donnée par : $$ S(f, \sigma) = \sum_{k=0}^{n-1} m_k \cdot (a_{k+1} - a_k) $$ où $$ m_k = \inf_{x \in [a_k, a_{k+1}]} f(x) $$. - La somme supérieure de Darboux $$ s(f, \sigma) $$ est donnée par : $$ s(f, \sigma) = \sum_{k=0}^{n-1} M_k \cdot (a_{k+1} - a_k) $$ où $$ M_k = \sup_{x \in [a_k, a_{k+1}]} f(x) $$. L'encadrement des deux sommes est donné par : $$ S(f, \sigma) \leq \int_a^b f(x) \, dx \leq s(f, \sigma) $$ #### 2)b) Dans quel cas la fonction $$ f $$ est Riemann-intégrable? La fonction $$ f $$ est Riemann-intégrable sur l'intervalle $$ I $$ si et seulement si les sommes de Darboux convergent, c'est-à-dire si pour tout $$ \varepsilon > 0 $$, il existe une subdivision $$ \sigma $$ de $$ I $$ telle que : $$ s(f, \sigma) - S(f, \sigma) < \varepsilon $$ #### 3) Faire une démonstration de ces propositions : #### 3)a) Une fonction bornée est Riemann intégrable sur un intervalle $$ I=[a, b] $$ si et seulement si, pour tout $$ \varepsilon>0 $$, il existe une subdivision $$ \sigma $$ de $$ I $$ telle que $$ S(f, \sigma) - s(f, \sigma) < \varepsilon $$. **Démonstration :** 1. **(=>)** Supposons que $$ f $$ est Riemann-intégrable. Par définition, pour tout $$ \varepsilon > 0 $$, il existe une subdivision $$ \sigma $$ telle que $$ s(f, \sigma) - S(f, \sigma) < \varepsilon $$. 2. **(<=)** Supposons que pour tout $$ \varepsilon > 0 $$, il existe une subdivision $$ \sigma $$ telle que $$ s(f, \sigma) - S(f, \sigma) < \varepsilon $$. Cela implique que les sommes de Darboux convergent, donc $$ f $$ est Riemann-intégrable. #### 3)b) Soit $$ I=[a, b] $$ un intervalle, $$ f $$ une fonction monotone sur $$ I $$. Alors $$ f $$ est Riemann-intégrable sur $$ I $$. **Démonstration :** Une fonction monotone est bornée sur un intervalle fermé et borné. De plus, les points de discontinuité d'une fonction monotone sont au plus dénombrables. Par conséquent, la somme de Darboux converge, et $$ f $$ est Riemann-intégrable. #### 3)c) Soit $$ I=[a, b] $$ un intervalle borné, $$ f, g $$ des fonctions bornées et Riemann intégrables sur $$ I $$ ; on suppose que $$ g \geq 0 $$. **Démonstration :** 1. Puisque $$ f $$ et $$ g $$ sont Riemann-intégrables, il existe des sommes de Darboux $$ S(f, \sigma) $$ et $$ s(f, \sigma) $$ pour $$ f $$ et $$ g $$. 2. En utilisant la propriété de la somme et du produit de fonctions intégrables, on peut montrer que $$ f \cdot g $$ est également intégrable, car les sommes de Darboux de $$ f \cdot g $$ convergent. Ainsi, $$ f \cdot g $$ est Riemann-intégrable sur $$ I $$. ### Exercice 1 1. **a)** Une fonction $$ f $$ est en escalier sur un intervalle $$ I $$ si elle est constante sur chaque sous-intervalle d'une subdivision de $$ I $$. 1. **b)** La somme des aires des rectangles $$ S(f, \sigma) $$ est la somme des produits de la valeur de $$ f $$ sur chaque sous-intervalle multipliée par la longueur de l'intervalle. 2. **a)** Les deux sommes de Darboux sont : - Somme inférieure $$ S(f, \sigma) $$ : somme des produits de la borne inférieure de $$ f $$ sur chaque sous-intervalle multipliée par la longueur de l'intervalle. - Somme supérieure $$ s(f, \sigma) $$ : somme des produits de la borne supérieure de $$ f $$ sur chaque sous-intervalle multipliée par la longueur de l'intervalle. Ces sommes encadrent l'intégrale de $$ f $$ sur $$ I $$. 2. **b)** Une fonction $$ f $$ est Riemann-intégrable sur $$ I $$ si les sommes de Darboux convergent, c'est-à-dire si pour tout $$ \varepsilon > 0 $$, il existe une subdivision $$ \sigma $$ telle que $$ s(f, \sigma) - S(f, \sigma) < \varepsilon $$. 3. **a)** Une fonction bornée est Riemann-intégrable sur $$ I $$ si et seulement si pour tout $$ \varepsilon > 0 $$, il existe une subdivision $$ \sigma $$ de $$ I $$ telle que la différence entre la somme supérieure et la somme inférieure de Darboux soit inférieure à $$ \varepsilon $$. 3. **b)** Toute fonction monotone sur un intervalle $$ I $$ est Riemann-intégrable sur $$ I $$. 3. **c)** Si $$ f $$ et $$ g $$ sont Riemann-intégrables sur $$ I $$ et $$ g $$ est positive, alors leur produit $$ f \cdot g $$ est également Riemann-intégrable sur $$ I $$.

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