те неравенство: \( \log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}-x-2\right)>-2 \)

Давайте начнем с преобразования неравенства. Мы знаем, что логарифм со основанием меньше 1 (в данном случае, \(\frac{1}{2}\)) меняет знак неравенства. Таким образом, можно преобразовать неравенство: \[ x^{2}-x-2 < \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \] Рассмотрим правую часть: \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4\). Теперь имеем неравенство: \[ x^{2}-x-2 < 4 \] Теперь перенесем 4 в левую часть: \[ x^{2}-x-6 < 0 \] Теперь решим квадратное неравенство \(x^{2}-x-6 < 0\). Для этого найдем корни соответствующего уравнения: \[ x^{2}-x-6 = 0 \] Используя формулу корней квадратного уравнения, получаем: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \] Корни будут: \[ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \] Теперь мы имеем корни \(x = -2\) и \(x = 3\). Чтобы решить неравенство \(x^{2}-x-6 < 0\), рассмотрим интервалы: 1. \( (-\infty, -2) \) 2. \( (-2, 3) \) 3. \( (3, +\infty) \) Проверим знак на каждом интервале: - Для интервала \((- \infty, -2)\), например, \(x = -3\): \( (-3)^2 - (-3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 > 0 \) - Для интервала \((-2, 3)\), например, \(x = 0\): \(0^2 - 0 - 6 = -6 < 0\) - Для интервала \((3, +\infty)\), например, \(x = 4\): \(4^2 - 4 - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 > 0\) Таким образом, неравенство \(x^{2}-x-6 < 0\) выполняется на интервале: \[ (-2, 3) \] Теперь, помимо этого, нужно учесть, что под логарифмом должно быть положительно, то есть: \[ x^{2} - x - 2 > 0 \] Это неравенство имеет корни \(x = -1\) и \(x = 2\). Решая его, мы находим два интервала: 1. \( (-\infty, -1) \) 2. \( (-1, 2) \) 3. \( (2, +\infty) \) Проверяя знаки, мы получаем, что: - В интервале \((- \infty, -1)\) — положительно - В интервале \((-1, 2)\) — отрицательно - В интервале \((2, +\infty)\) — положительно Таким образом, \(x^{2}-x-2 > 0\) выполняется на интервалах \((- \infty, -1)\) и \((2, +\infty)\). Теперь мы должны найти пересечение: Нас интересует интервал \((-2, 3)\) и положительные части \( (-\infty, -1) \) и \( (2, +\infty) \). Таким образом, пересечение дает: \[ (-2, -1) \cup (2, 3) \] Итак, ответ: \[ (-2, -1) \cup (2, 3) \]