Usando el método gráfico resuelva correctamente el siguiente modelo de programación lineal. Especifique claramente la solución del problema: \[ \begin{array}{l}\text { Max } Z=20 x_{1}+22 x_{2} \\ \text { Sujeto a: } \\ 8 x_{1}+6 x_{2} \leq 48 \\ 6 x_{1}+8 x_{2} \leq 48 \\ 7 x_{1}+7 x_{2}=42 \\ x_{1}, x_{2} \geq 0\end{array} \]

Para resolver el problema de programación lineal utilizando el método gráfico, primero necesitamos graficar las restricciones y encontrar los puntos factibles. Las restricciones son: 1. \( 8x_1 + 6x_2 \leq 48 \) 2. \( 6x_1 + 8x_2 \leq 48 \) 3. \( 7x_1 + 7x_2 = 42 \) **Paso 1: Graficar las restricciones** 1. Para la primera restricción (\( 8x_1 + 6x_2 = 48 \)): - Si \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 8 \) - Si \( x_2 = 0 \), \( x_1 = 6 \) 2. Para la segunda restricción (\( 6x_1 + 8x_2 = 48 \)): - Si \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 6 \) - Si \( x_2 = 0 \), \( x_1 = 8 \) 3. Para la tercera restricción (\( 7x_1 + 7x_2 = 42 \)): - Si \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 6 \) - Si \( x_2 = 0 \), \( x_1 = 6 \) **Paso 2: Identificar la región factible** Después de graficar las tres rectas en un plano \( x_1-x_2 \), encontramos la intersección de las áreas que cumplen todas las restricciones. **Paso 3: Puntos de intersección** En este paso se calcula la intersección de las rectas: 1. Intersección de \( 8x_1 + 6x_2 = 48 \) y \( 6x_1 + 8x_2 = 48 \): Resolviendo: - \( x_2 = 48/8 - (8/6)x_1 \) y sustituyendo en \( 6x_1 + 8(48 - 8x_1)/6 \) se obtiene el punto (0, 6). Haciendo las cuentas correctamente, determinamos que el punto de intersección más relevante en la región factible es (0, 6) y (6, 0). 2. Intersección de \( 7x_1 + 7x_2 = 42 \) con otras rectas define otros dos posibles puntos. **Paso 4: Evaluar la función objetivo** Una vez definidos los vértices de la región factible, calculamos \( Z \) para cada uno: 1. Para (0, 6): \( Z = 20(0) + 22(6) = 132 \) 2. Para (6, 0): \( Z = 20(6) + 22(0) = 120 \) 3. Evaluamos en el resto de puntos para saber qué produce el valor máximo de \( Z \). **Solución Final** La solución óptima se obtiene al encontrar el valor máximo de \( Z \) en los vértices factibles. En este caso, la solución máxima se da en el punto (0, 6) correspondiente a \( Z = 132 \). Esto significa que para maximizar la función objetivo debemos asignar todos los recursos a \( x_2 \) y no a \( x_1 \).