Usando el método gráfico resuelva correctamente el siguiente modelo de programación lineal. Especifique claramente la solución del problema: \[ \begin{array}{l}\text { Max } Z=20 x_{1}+22 x_{2} \\ \text { Sujeto a: } \\ 8 x_{1}+6 x_{2} \leq 48 \\ 6 x_{1}+8 x_{2} \leq 48 \\ 7 x_{1}+7 x_{2}=42 \\ x_{1}, x_{2} \geq 0\end{array} \]

Consideremos el siguiente modelo: \[ \begin{array}{l} \text{Max } Z = 20 x_{1} + 22 x_{2} \\ \text{Sujeto a:} \\ 8 x_{1} + 6 x_{2} \leq 48 \quad (1)\\[1mm] 6 x_{1} + 8 x_{2} \leq 48 \quad (2)\\[1mm] 7 x_{1} + 7 x_{2} = 42 \quad (3)\\[1mm] x_{1},\, x_{2} \geq 0 \end{array} \] Dado que la restricción (3) es una igualdad, podemos simplificarla: \[ 7x_{1} + 7x_{2} = 42 \quad \Longrightarrow \quad x_{1} + x_{2} = 6. \] Esto implica que cualquier solución factible debe satisfacer \[ x_{2} = 6 - x_{1}. \] **Paso 1. Determinar la región factible** Usamos la ecuación \(x_{2} = 6 - x_{1}\) y sustituimos en las desigualdades (1) y (2). 1. Para la restricción (1): \[ 8x_{1} + 6(6-x_{1}) \leq 48. \] Desarrollamos: \[ 8x_{1} + 36 - 6x_{1} \leq 48 \quad \Longrightarrow \quad 2x_{1} + 36 \leq 48. \] Restamos 36: \[ 2x_{1} \leq 12 \quad \Longrightarrow \quad x_{1} \leq 6. \] 2. Para la restricción (2): \[ 6x_{1} + 8(6-x_{1}) \leq 48. \] Desarrollamos: \[ 6x_{1} + 48 - 8x_{1} \leq 48 \quad \Longrightarrow \quad -2x_{1} + 48 \leq 48. \] Restamos 48: \[ -2x_{1} \leq 0 \quad \Longrightarrow \quad x_{1} \geq 0. \] Por lo tanto, al estar además \(x_1\geq 0\) y \(x_2=6-x_1\geq 0\), el rango de \(x_1\) es: \[ 0 \leq x_{1} \leq 6. \] La región factible, debido a la igualdad, se reduce al segmento de recta: \[ \{(x_{1},x_{2}) : x_{1}+x_{2}=6,\; 0\le x_{1}\le 6\}. \] Los puntos extremos (o vértices) del segmento son: - Cuando \(x_{1}=0\), \(x_{2}=6\). - Cuando \(x_{1}=6\), \(x_{2}=0\). **Paso 2. Expresar la función objetivo en función de \(x_1\)** Sustituya \(x_{2}=6-x_{1}\) en la función objetivo: \[ Z = 20 x_{1} + 22 (6-x_{1}) = 20 x_{1} + 132 - 22 x_{1} = 132 - 2x_{1}. \] Observamos que \(Z\) disminuye a medida que \(x_{1}\) aumenta. Para maximizar \(Z\) se debe minimizar \(x_{1}\) en el intervalo \([0,6]\). **Paso 3. Evaluar los vértices** 1. En el vértice \((x_{1}, x_{2}) = (0,6)\): \[ Z = 132 - 2(0) = 132. \] 2. En el vértice \((x_{1}, x_{2}) = (6,0)\): \[ Z = 132 - 2(6) = 132 - 12 = 120. \] **Paso 4. Concluir la solución óptima** El valor máximo de \(Z\) es \(132\) en el punto: \[ (x_{1}, x_{2}) = (0,6). \] **Respuesta Final:** La solución óptima del modelo es: \[ x_{1} = 0,\quad x_{2} = 6,\quad Z_{\text{máx}} = 132. \]