\( ( 6 x ^ { 3 } y ^ { 2 } + 4 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 3 x y - 8 ) = ( 2 x ^ { 3 } y ^ { 2 } - 4 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 3 x y ^ { 2 } - 4 x y + 3 ) \)

Consideremos la ecuación \[ 6 x^3y^2 + 4 x^2y^2 + 3xy - 8 = 2 x^3y^2 - 4 x^2y^2 + 3xy^2 - 4xy + 3. \] Procederemos a trasladar todos los términos al lado izquierdo para igualar a cero. 1. Escribimos la ecuación con la resta de los términos del lado derecho: \[ 6x^3y^2 + 4x^2y^2 + 3xy - 8 \;-\; \bigl(2x^3y^2 - 4x^2y^2 + 3xy^2 - 4xy + 3\bigr) = 0. \] 2. Distribuimos el signo negativo: \[ 6x^3y^2 + 4x^2y^2 + 3xy - 8 - 2x^3y^2 + 4x^2y^2 - 3xy^2 + 4xy - 3 = 0. \] 3. Agrupamos términos semejantes: - Términos en \(x^3y^2\): \[ 6x^3y^2 - 2x^3y^2 = 4x^3y^2. \] - Términos en \(x^2y^2\): \[ 4x^2y^2 + 4x^2y^2 = 8x^2y^2. \] - Términos en \(xy\): \[ 3xy + 4xy = 7xy. \] - Término en \(xy^2\): \[ - 3xy^2 \quad (\text{no tiene otro semejante}). \] - Términos constantes: \[ -8 - 3 = -11. \] Así, la ecuación se transforma en \[ 4x^3y^2 + 8x^2y^2 + 7xy - 3xy^2 - 11 = 0. \] 4. Observemos que algunos términos tienen factores comunes. Por ejemplo, en los primeros dos términos se puede factorizar \(4x^2y^2\): \[ 4x^3y^2 + 8x^2y^2 = 4x^2y^2(x + 2). \] Y, en los términos en \(xy\) y \(xy^2\) se tiene un factor común \(xy\): \[ 7xy - 3xy^2 = xy (7 - 3y). \] Por lo tanto, la ecuación se puede escribir de la siguiente forma: \[ 4x^2y^2(x+2) + xy(7-3y) - 11 = 0. \] 5. También es posible dejar la ecuación en una forma factorizada parcialmente extrayendo el factor \(xy\) de los dos primeros grupos de términos que contengan \(x\) y \(y\). Notamos que los términos que contienen \(xy\) son \[ 4x^3y^2 + 8x^2y^2 - 3xy^2 + 7xy. \] Podemos factorizar \(xy\) de estos términos: \[ xy\Bigl(4x^2y + 8xy - 3y + 7\Bigr) - 11 = 0. \] Es decir, \[ xy\Bigl(4x^2y + 8xy - 3y + 7\Bigr) = 11. \] Esta es una forma compacta de expresar la relación entre \(x\) e \(y\). El resultado final es \[ \boxed{xy\Bigl(4x^2y + 8xy - 3y + 7\Bigr) = 11.} \] Esta ecuación es una relación entre dos variables y, salvo condiciones adicionales, representa el conjunto de soluciones \((x,y)\) que cumplen la igualdad.