С тре̄хзначным числом пронзводяा следующую операцню: вычитаюот из нето сумму его цнфр, а затем получившуюся разность делят на 3. a) Могло лн в результате такой операцни получнться число 240 ? б) Могло ли в результате такой операции получиться число 163 ? в) Сколько разлинных чисел может получнться в результате такой операини нз чисел от 100 до 700 включительно?

Рассмотрим операцию. Пусть дано трёхзначное число \[ n=100a+10b+c, \] где \(a\), \(b\), \(c\) – его цифры (\(a\ne 0\)). Сумма цифр равна \[ S=a+b+c. \] Операция состоит из двух шагов: вычесть сумму цифр из числа и затем разделить результат на 3. То есть получаем \[ R=\frac{n-S}{3}. \] Выпишем выражение подробнее: \[ n-S=(100a+10b+c)-(a+b+c)=99a+9b, \] так как \( c-c \) взаимно уничтожаются. Тогда \[ R=\frac{99a+9b}{3}=33a+3b=3(11a+b). \] Теперь решим задачи по пунктам. --- **a) Пусть \( R=240 \). Возможно ли это?** Нам нужно, чтобы \[ 33a+3b=240. \] Разделим обе части на 3: \[ 11a+b=80. \] Найдем такие цифры \(a\) и \(b\) (при этом \(1\le a \le 9\) и \(0\le b\le 9\)). Подставим возможные значения \(a\): - Если \(a=7\), то \[ 11\cdot 7+b=77+b=80 \quad \Longrightarrow \quad b=3. \] Получаем корректное значение \(b=3\). Таким образом, при \(a=7\) и \(b=3\) уравнение выполняется, а \(c\) может быть любым от 0 до 9. Следовательно, число \[ n=100\cdot 7+10\cdot 3+c=730+c, \] при любом \(c\) (от 0 до 9), удовлетворяет условию операции, дающей результат 240. --- **b) Пусть \( R=163 \). Возможно ли это?** Имеем уравнение \[ 33a+3b=163. \] Разделим обе части на 3: \[ 11a+b=\frac{163}{3}\approx 54.333\ldots. \] Поскольку левая часть принимает целые значения (так как \(a\) и \(b\) – цифры), а правая не является целым числом, получаем, что решений не существует. Таким образом, результат 163 получить нельзя. --- **c) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции при исходном числе от 100 до 700 включительно?** Как мы установили, \[ R=33a+3b, \] то есть \(R\) определяется только двумя первыми цифрами числа. Нужно рассмотреть все допустимые пары \((a,b)\) для чисел от 100 до 700. 1. Если число находится в диапазоне от 100 до 699, то \(a=1,2,\dots,6\) и \(b\) может принимать значения от 0 до 9 (всего 10 вариантов для каждой фиксированной \(a\)). 2. Число 700 имеет \(a=7\) и \(b=0\) (единственный вариант, так как 701 и больше не входят в диапазон). Таким образом, количество вариантов пар: - Для \(a=1,\ldots,6\): \(6\times10=60\) вариантов. - Для \(a=7\): 1 вариант. Получаем суммарно \(60+1=61\) различных вариантов. Поскольку при фиксированных \(a\) и \(b\) значение \[ R=33a+3b \] определено однозначно, то будет получено ровно 61 различных результата. --- Ответы: - а) Да, результат 240 может быть получен (например, для чисел вида \(730+c\), где \(c=0,\dots,9\)). - б) Нет, результат 163 получить нельзя. - в) Может получиться 61 различное число.