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La ecuación \( x^{2} - y^{2} = 3x \) se factoriza y se resuelve usando la fórmula cuadrática, resultando en dos soluciones para \( x \) en función de \( y \).
Solution
La ecuación que has proporcionado es \( x^{2} - y^{2} = 3x \). Esta es una diferencia de cuadrados que se puede factorizar.
Podemos reescribir la ecuación como:
\[
x^{2} - 3x - y^{2} = 0
\]
Esto es una ecuación cuadrática en términos de \( x \). Para resolverla, podemos usar la fórmula cuadrática:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}
\]
donde \( a = 1 \), \( b = -3 \), y \( c = -y^{2} \). Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtenemos:
\[
x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^{2} - 4(1)(-y^{2})}}{2(1)}
\]
Simplificando esto, tenemos:
\[
x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4y^{2}}}{2}
\]
Esto nos da dos posibles soluciones para \( x \) en función de \( y \):
\[
x = \frac{3 + \sqrt{9 + 4y^{2}}}{2} \quad \text{y} \quad x = \frac{3 - \sqrt{9 + 4y^{2}}}{2}
\]
Si necesitas más información o un enfoque diferente, házmelo saber.
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This equation can be transformed into a more recognizable form by rearranging it to \( x^{2} - 3x - y^{2} = 0 \). If you plot this equation, you’ll notice it represents a hyperbola, which is a fascinating conic section that appears frequently in various fields of mathematics and physics. When solving for \( y \), you can treat this as a quadratic in terms of \( y \). This means you can potentially find the values of \( y \) for any given \( x \) using the quadratic formula: \( y = \pm \sqrt{x^2 - 3x} \). Remember, it’s crucial to consider the restrictions on \( x \) in this scenario, specifically ensuring the expression under the square root remains non-negative!
