7. (10 puntos) Con el uso de fracciones parciales determina $$ \mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{s+1}{s^{2}+2 s-3}\right\} $$

Question

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Para encontrar la transformada inversa de Laplace $$ \mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{s+1}{s^{2}+2s-3}\right\} $$, primero debemos descomponer la función en fracciones parciales.

1. **Factorizar el denominador**:
   El denominador es $$ s^2 + 2s - 3 $$. Para factorizarlo, buscamos dos números que multiplicados den $$-3$$ y sumados den $$2$$. Estos números son $$3$$ y $$-1$$. Por lo tanto, podemos factorizar el denominador como:
   $$
   s^2 + 2s - 3 = (s + 3)(s - 1)
   $$

2. **Escribir la fracción en términos de fracciones parciales**:
   Queremos expresar $$ \frac{s+1}{(s+3)(s-1)} $$ en términos de fracciones parciales:
   $$
   \frac{s+1}{(s+3)(s-1)} = \frac{A}{s+3} + \frac{B}{s-1}
   $$
   Multiplicamos ambos lados por el denominador $$ (s+3)(s-1) $$:
   $$
   s + 1 = A(s - 1) + B(s + 3)
   $$
   Expandiendo el lado derecho:
   $$
   s + 1 = As - A + Bs + 3B = (A + B)s + (3B - A)
   $$
   Igualando coeficientes, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
   $$
   A + B = 1 \quad \text{(coeficiente de } s\text{)}
   $$
   $$
   3B - A = 1 \quad \text{(término independiente)}
   $$

3. **Resolver el sistema de ecuaciones**:
   De la primera ecuación, podemos despejar $$ A $$:
   $$
   A = 1 - B
   $$
   Sustituyendo en la segunda ecuación:
   $$
   3B - (1 - B) = 1
   $$
   $$
   3B - 1 + B = 1
   $$
   $$
   4B = 2 \quad \Rightarrow \quad B = \frac{1}{2}
   $$
   Sustituyendo $$ B $$ en la ecuación para $$ A $$:
   $$
   A = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
   $$

4. **Escribir la fracción parcial**:
   Ahora podemos escribir la fracción original como:
   $$
   \frac{s+1}{(s+3)(s-1)} = \frac{1/2}{s+3} + \frac{1/2}{s-1}
   $$

5. **Encontrar la transformada inversa**:
   Ahora aplicamos la transformada inversa de Laplace:
   $$
   \mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1/2}{s+3}\right\} + \mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1/2}{s-1}\right\}
   $$
   Usando las propiedades de la transformada inversa, tenemos:
   $$
   \mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+a}\right\} = e^{-at}
   $$
   Por lo tanto:
   $$
   \mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1/2}{s+3}\right\} = \frac{1}{2} e^{-3t}
   $$
   $$
   \mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1/2}{s-1}\right\} = \frac{1}{2} e^{t}
   $$

6. **Combinar los resultados**:
   Finalmente, la transformada inversa de Laplace es:
   $$
   \mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{s+1}{s^{2}+2s-3}\right\} = \frac{1}{2} e^{-3t} + \frac{1}{2} e^{t}
   $$

Por lo tanto, la respuesta es:
$$
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{s+1}{s^{2}+2s-3}\right\} = \frac{1}{2} e^{-3t} + \frac{1}{2} e^{t}
$$
La transformada inversa de Laplace de $$ \frac{s+1}{s^{2}+2s-3} $$ es $$ \frac{1}{2} e^{-3t} + \frac{1}{2} e^{t} $$.

7. (10 puntos) Con el uso de fracciones parciales determina \( \mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{s+1}{s^{2}+2 s-3}\right\} \)

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