Question
9. Determina para qué valores de cla ecuación \( 9 x^{2}+42 x+c=0 \) tiene una única solución. Explica tu procedimiento.
Ask by Schneider Rojas. in Mexico
Feb 25,2025
Upstudy AI Solution
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Answer
Para que la ecuación \( 9x^{2} + 42x + c = 0 \) tenga una única solución, el valor de \( c \) debe ser 49.
Solution
Para determinar cuándo la ecuación 9x² + 42x + c = 0 tiene una única solución, debemos utilizar el concepto del discriminante en la fórmula cuadrática.
Recordemos que, para una ecuación de la forma ax² + bx + c = 0, el discriminante (Δ) se calcula como:
Δ = b² - 4ac
La ecuación tiene:
• Dos soluciones reales si Δ > 0
• Una única solución real (solución doble) si Δ = 0
• Ninguna solución real si Δ < 0
En nuestro caso, a = 9, b = 42, y c es el parámetro a determinar.
Calculamos el discriminante:
Δ = 42² - 4·9·c
= 1764 - 36c
Para que la ecuación tenga una única solución, necesitamos que Δ = 0:
1764 - 36c = 0
Resolviendo para c:
36c = 1764
c = 1764 / 36
c = 49
Por lo tanto, la ecuación 9x² + 42x + c = 0 tiene una única solución cuando c = 49.
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Para que la ecuación cuadrática \( 9x^{2} + 42x + c = 0 \) tenga una única solución, el discriminante debe ser igual a cero. El discriminante se calcula con la fórmula \( D = b^2 - 4ac \). Aquí, \( a = 9 \), \( b = 42 \) y \( c = c \). Calculamos el discriminante: \[ D = 42^2 - 4 \cdot 9 \cdot c = 1764 - 36c. \] Para que haya una única solución, necesitamos que \( D = 0 \): \[ 1764 - 36c = 0 \implies 36c = 1764 \implies c = \frac{1764}{36} = 49. \] Por lo tanto, la ecuación tiene una única solución cuando \( c = 49 \).
