267. Izračunajte dolžino tetive, ki jo na elipsi $$ x^{2}+2 y^{2}-36=0 $$ odseka premica $$ x+6=2 y $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Za izračun dolžine tetive, ki jo na elipsi $$ x^{2}+2 y^{2}-36=0 $$ odseka premica $$ x+6=2 y $$, bomo sledili naslednjim korakom:

1. **Preoblikovanje elipse in premice**: Najprej bomo preoblikovali enačbo elipse in premice v standardno obliko.

2. **Reševanje sistema enačb**: Ugotovili bomo točke presečišča med elipso in premico.

3. **Izračun dolžine tetive**: Na koncu bomo izračunali dolžino tetive med točkama presečišča.

### Korak 1: Preoblikovanje elipse in premice

Enačba elipse je:
$$
x^{2}+2 y^{2}-36=0 \implies \frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{18} = 1
$$

Enačba premice je:
$$
x + 6 = 2y \implies y = \frac{x + 6}{2}
$$

### Korak 2: Reševanje sistema enačb

Zdaj bomo nadomestili $$ y $$ iz enačbe premice v enačbo elipse:
$$
x^{2} + 2\left(\frac{x + 6}{2}\right)^{2} - 36 = 0
$$

To bomo poenostavili in rešili za $$ x $$.

Najprej izračunajmo $$ \left(\frac{x + 6}{2}\right)^{2} $$:
$$
\left(\frac{x + 6}{2}\right)^{2} = \frac{(x + 6)^{2}}{4} = \frac{x^{2} + 12x + 36}{4}
$$

Nadomestimo to v enačbo elipse:
$$
x^{2} + 2 \cdot \frac{x^{2} + 12x + 36}{4} - 36 = 0
$$
$$
x^{2} + \frac{x^{2} + 12x + 36}{2} - 36 = 0
$$
$$
x^{2} + \frac{1}{2}x^{2} + 6x + 18 - 36 = 0
$$
$$
\frac{3}{2}x^{2} + 6x - 18 = 0
$$

Pomnožimo z 2, da se znebimo ulomkov:
$$
3x^{2} + 12x - 36 = 0
$$

Sedaj bomo rešili to kvadratno enačbo.

### Korak 3: Izračun dolžine tetive

Najprej bomo rešili kvadratno enačbo za $$ x $$:
$$
3x^{2} + 12x - 36 = 0
$$

Izračunajmo rešitve za $$ x $$ in nato izračunajmo $$ y $$ za vsako rešitev.

Rešimo kvadratno enačbo:
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}
$$
kjer je $$ a = 3 $$, $$ b = 12 $$, $$ c = -36 $$.

Izračunajmo:
$$
b^{2} - 4ac = 12^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (-36) = 144 + 432 = 576
$$

Sedaj izračunamo $$ x $$:
$$
x = \frac{-12 \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 3} = \frac{-12 \pm 24}{6}
$$

To nam daje:
$$
x_{1} = \frac{12}{6} = 2, \quad x_{2} = \frac{-36}{6} = -6
$$

Sedaj izračunamo $$ y $$ za vsako rešitev:
1. Za $$ x_{1} = 2 $$:
   $$
   y_{1} = \frac{2 + 6}{2} = 4
   $$
   Točka: $$ (2, 4) $$

2. Za $$ x_{2} = -6 $$:
   $$
   y_{2} = \frac{-6 + 6}{2} = 0
   $$
   Točka: $$ (-6, 0) $$

### Korak 4: Izračun dolžine tetive

Sedaj imamo točki $$ (2, 4) $$ in $$ (-6, 0) $$. Dolžino tetive izračunamo s formulo za razdaljo med dvema točkama:
$$
d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}
$$
$$
d = \sqrt{(-6 - 2)^{2} + (0 - 4)^{2}} = \sqrt{(-8)^{2} + (-4)^{2}} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}
$$

Tako je dolžina tetive, ki jo na elipsi odseka premica, enaka $$ 4\sqrt{5} $$.
Dolžina tetive je $$ 4\sqrt{5} $$.

267. Izračunajte dolžino tetive, ki jo na elipsi \( x^{2}+2 y^{2}-36=0 \) odseka premica \( x+6=2 y \).

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Geometry Questions