Année Académique 2022/2023 École de Médecine Saint Christopher Iba Mar DIOP Biomathématiques: L1S1 TD5 : Calcul de Probabilités Exercice 1: Un cadenas possède un code à 3 chiffres, chacun pouvant être un chiffre de 1 à 9 . 1) Combien y-a-t-il de codes possibles? 2) Combien y-a-t-il de codes se terminant par un chiffre pair? 3) Combien y-a-t-il de codes contenant au moins un chiffre 4 ? 4) Combien y-a-t-il de codes contenant exactement un chiffre 4 ? Dans cette question on souhaite que le code comporte obligatoirement trois chiffres distincts. 5) Combien y-a-t-il de codes possibles? 6) Combien y-a-t-il de codes se terminant par un chiffre impair? 7) Combien y-a-t-il de codes comprenant le chiffre 6 ? Exercice 2: Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires indiscernables au toucher et toutes numérotées. 1) On tire au hasard simultanément 3 boules. Le nombre de tirages apportant 2 boules noires et 1 boule blanche est : $$ C_{6}^{2}+C_{4}^{1} $$ $$ C_{10}^{2}+C_{10}^{1} $$ $$ C_{6}^{2} \times C_{4}^{1} $$ $$ 6^{2} \times 4^{1} $$ $$ A_{6}^{2} \times A_{4}^{1} $$ 2) On tire au hasard successivement et avec remise 4 boules. Le nombre de tirages apportant 2 boules noires et 2 boules blanches toutes distinctes est : 2000 2160 3500 1750 1800

Question

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**Exercice 1**

1) Le code comporte 3 chiffres avec chacun 9 possibilités.  
$$
\text{Nombre total} = 9^3 = 729.
$$

2) Pour qu’un code se termine par un chiffre pair, le 3ᵉ chiffre doit être choisi parmi les chiffres pairs de $$\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$$. Les chiffres pairs sont $$2,4,6,8$$ (4 possibilités). Les deux premiers chiffres peuvent être quelconques parmi 9.  
$$
\text{Nombre total} = 9 \times 9 \times 4 = 324.
$$

3) Le nombre de codes contenant au moins un chiffre 4 se calcule en retranchant du nombre total des codes le nombre de codes ne contenant pas de 4.  
- Nombre de codes sans 4 :  
$$
8^3 = 512.
$$  
- Nombre de codes contenant au moins un 4 :  
$$
729 - 512 = 217.
$$

4) Pour compter les codes contenant exactement un chiffre 4, on choisit d’abord la position où le 4 apparaît ($$\binom{3}{1}=3$$ possibilités) ; puis les deux autres positions prennent chacune une valeur parmi les 8 autres chiffres.  
$$
\text{Nombre total} = 3 \times 8^2 = 3 \times 64 = 192.
$$

Maintenant, on impose que les trois chiffres soient distincts.

5) Pour un code à chiffres distincts, il s’agit d’une permutation des chiffres choisis parmi 9. On a :  
$$
9 \times 8 \times 7 = 504 \text{ codes possibles}.
$$

6) Pour un code à chiffres distincts se terminant par un chiffre impair, on procède comme suit :  
- Le dernier chiffre doit être impair. Les chiffres impairs parmi $$1$$ à $$9$$ sont $$1,3,5,7,9$$ (5 possibilités).  
- Les deux premiers chiffres seront choisis dans les $$8$$ chiffres restants (car on ne peut pas répéter le chiffre placé en fin).  
$$
\text{Nombre total} = 5 \times 8 \times 7 = 280.
$$

7) Pour compter le nombre de codes distincts contenant le chiffre $$6$$, on peut utiliser la méthode du complément.  
- Nombre total de codes distincts (sans contrainte) : $$504$$.  
- Nombre de codes sans le chiffre $$6$$ : on dispose alors de $$8$$ chiffres, donc  
$$
8 \times 7 \times 6 = 336.
$$  
- Nombre de codes contenant $$6$$ :  
$$
504 - 336 = 168.
$$

---

**Exercice 2**

On a une urne contenant 4 boules blanches et 6 boules noires, toutes numérotées (donc distinctes).

1) Lors d’un tirage simultané de 3 boules, pour obtenir exactement 2 boules noires et 1 boule blanche, on choisit :  
- $$2$$ boules noires parmi $$6$$ : $$\binom{6}{2}$$.  
- $$1$$ boule blanche parmi $$4$$ : $$\binom{4}{1}$$.  
Le nombre de tirages est donc :  
$$
\binom{6}{2} \times \binom{4}{1} = 15 \times 4 = 60.
$$  
La bonne réponse parmi les propositions est  
$$
C_{6}^{2} \times C_{4}^{1}.
$$

2) Dans ce tirage successif avec remise de 4 boules, on souhaite obtenir exactement 2 boules noires et 2 boules blanches, et toutes les boules tirées doivent être distinctes (en raison de leur numérotation).  
- D’abord, déterminer l’ordre dans lequel apparaissent les couleurs :  
On choisit les positions des boules noires parmi les 4 tirages :  
$$
\binom{4}{2} = 6.
$$
- Pour les boules noires : même avec remise, on impose qu’elles soient distinctes. Le nombre de façons de choisir 2 boules distinctes et de les placer dans l’ordre (pour les 2 positions assignées) est le nombre de permutations parmi $$6$$ noyaux, soit  
$$
P(6,2)=6\times5=30.
$$
- Pour les boules blanches : de même,  
$$
P(4,2)=4 \times 3=12.
$$
- Ainsi, le nombre total de tirages est :  
$$
6 \times 30 \times 12 = 2160.
$$

La bonne réponse parmi celles proposées est donc : $$\mathbf{2160}$$.
**Exercice 1** 1) Il y a $$9^3 = 729$$ codes possibles. 2) Il y a $$9 \times 9 \times 4 = 324$$ codes se terminant par un chiffre pair. 3) Il y a $$729 - 512 = 217$$ codes contenant au moins un chiffre 4. 4) Il y a $$3 \times 8^2 = 192$$ codes contenant exactement un chiffre 4. 5) Il y a $$9 \times 8 \times 7 = 504$$ codes possibles avec trois chiffres distincts. 6) Il y a $$5 \times 8 \times 7 = 280$$ codes se terminant par un chiffre impair. 7) Il y a $$8 \times 7 \times 6 = 336$$ codes contenant le chiffre 6. --- **Exercice 2** 1) Il y a $$15 \times 4 = 60$$ tirages avec 2 boules noires et 1 boule blanche. 2) Il y a $$6 \times 30 \times 12 = 2160$$ tirages avec 2 boules noires et 2 boules blanches, toutes distinctes.

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