Année Académique 2022/2023 École de Médecine Saint Christopher Iba Mar DIOP Biomathématiques: L1S1 TD5 : Calcul de Probabilités Exercice 1: Un cadenas possède un code à 3 chiffres, chacun pouvant être un chiffre de 1 à 9 . 1) Combien y-a-t-il de codes possibles? 2) Combien y-a-t-il de codes se terminant par un chiffre pair? 3) Combien y-a-t-il de codes contenant au moins un chiffre 4 ? 4) Combien y-a-t-il de codes contenant exactement un chiffre 4 ? Dans cette question on souhaite que le code comporte obligatoirement trois chiffres distincts. 5) Combien y-a-t-il de codes possibles? 6) Combien y-a-t-il de codes se terminant par un chiffre impair? 7) Combien y-a-t-il de codes comprenant le chiffre 6 ? Exercice 2: Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires indiscernables au toucher et toutes numérotées. 1) On tire au hasard simultanément 3 boules. Le nombre de tirages apportant 2 boules noires et 1 boule blanche est : \[ C_{6}^{2}+C_{4}^{1} \] \( C_{10}^{2}+C_{10}^{1} \) \( C_{6}^{2} \times C_{4}^{1} \) \( 6^{2} \times 4^{1} \) \[ A_{6}^{2} \times A_{4}^{1} \] 2) On tire au hasard successivement et avec remise 4 boules. Le nombre de tirages apportant 2 boules noires et 2 boules blanches toutes distinctes est : 2000 2160 3500 1750 1800

**Exercice 1** 1) Le code comporte 3 chiffres avec chacun 9 possibilités. \[ \text{Nombre total} = 9^3 = 729. \] 2) Pour qu’un code se termine par un chiffre pair, le 3ᵉ chiffre doit être choisi parmi les chiffres pairs de \(\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\). Les chiffres pairs sont \(2,4,6,8\) (4 possibilités). Les deux premiers chiffres peuvent être quelconques parmi 9. \[ \text{Nombre total} = 9 \times 9 \times 4 = 324. \] 3) Le nombre de codes contenant au moins un chiffre 4 se calcule en retranchant du nombre total des codes le nombre de codes ne contenant pas de 4. - Nombre de codes sans 4 : \[ 8^3 = 512. \] - Nombre de codes contenant au moins un 4 : \[ 729 - 512 = 217. \] 4) Pour compter les codes contenant exactement un chiffre 4, on choisit d’abord la position où le 4 apparaît (\(\binom{3}{1}=3\) possibilités) ; puis les deux autres positions prennent chacune une valeur parmi les 8 autres chiffres. \[ \text{Nombre total} = 3 \times 8^2 = 3 \times 64 = 192. \] Maintenant, on impose que les trois chiffres soient distincts. 5) Pour un code à chiffres distincts, il s’agit d’une permutation des chiffres choisis parmi 9. On a : \[ 9 \times 8 \times 7 = 504 \text{ codes possibles}. \] 6) Pour un code à chiffres distincts se terminant par un chiffre impair, on procède comme suit : - Le dernier chiffre doit être impair. Les chiffres impairs parmi \(1\) à \(9\) sont \(1,3,5,7,9\) (5 possibilités). - Les deux premiers chiffres seront choisis dans les \(8\) chiffres restants (car on ne peut pas répéter le chiffre placé en fin). \[ \text{Nombre total} = 5 \times 8 \times 7 = 280. \] 7) Pour compter le nombre de codes distincts contenant le chiffre \(6\), on peut utiliser la méthode du complément. - Nombre total de codes distincts (sans contrainte) : \(504\). - Nombre de codes sans le chiffre \(6\) : on dispose alors de \(8\) chiffres, donc \[ 8 \times 7 \times 6 = 336. \] - Nombre de codes contenant \(6\) : \[ 504 - 336 = 168. \] --- **Exercice 2** On a une urne contenant 4 boules blanches et 6 boules noires, toutes numérotées (donc distinctes). 1) Lors d’un tirage simultané de 3 boules, pour obtenir exactement 2 boules noires et 1 boule blanche, on choisit : - \(2\) boules noires parmi \(6\) : \(\binom{6}{2}\). - \(1\) boule blanche parmi \(4\) : \(\binom{4}{1}\). Le nombre de tirages est donc : \[ \binom{6}{2} \times \binom{4}{1} = 15 \times 4 = 60. \] La bonne réponse parmi les propositions est \[ C_{6}^{2} \times C_{4}^{1}. \] 2) Dans ce tirage successif avec remise de 4 boules, on souhaite obtenir exactement 2 boules noires et 2 boules blanches, et toutes les boules tirées doivent être distinctes (en raison de leur numérotation). - D’abord, déterminer l’ordre dans lequel apparaissent les couleurs : On choisit les positions des boules noires parmi les 4 tirages : \[ \binom{4}{2} = 6. \] - Pour les boules noires : même avec remise, on impose qu’elles soient distinctes. Le nombre de façons de choisir 2 boules distinctes et de les placer dans l’ordre (pour les 2 positions assignées) est le nombre de permutations parmi \(6\) noyaux, soit \[ P(6,2)=6\times5=30. \] - Pour les boules blanches : de même, \[ P(4,2)=4 \times 3=12. \] - Ainsi, le nombre total de tirages est : \[ 6 \times 30 \times 12 = 2160. \] La bonne réponse parmi celles proposées est donc : \(\mathbf{2160}\).