Ejercicios: Dadas las matrices: $$ A=\left(\begin{array}{rr} 1 & 2 \ 0 & -1 \ 7 & 0 \end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{rr} 1 & 3 \ 4 & -1 \end{array}\right) \quad C=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \ 1 & 2 \end{array}\right) \quad D=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & -1 \ 1 & 0 & 2 \end{array}\right) $$ Ejercicio 6.2 - Probs. 29, 30 y 34 (pág. 238) Calcule: - $$ 3 A^{\top}+D $$ - $$ (B-C)^{\top} $$ - $$ \left(D-2 A^{\top}\right)^{\top} $$

Question

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Dadas las matrices

A = [ [1  2],
      [0  –1],
      [7  0] ]  (3×2),

B = [ [1  3],
      [4  –1] ]  (2×2),

C = [ [1  0],
      [1  2] ]  (2×2),

D = [ [1  2  –1],
      [1  0   2] ]  (2×3),

resolvemos cada ejercicio paso a paso.

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1) Cálculo de 3 Aᵀ + D

Primero, hallamos la traspuesta de A. Recordemos que si  
  A = [ [a₁₁ a₁₂],
      [a₂₁ a₂₂],
      [a₃₁ a₃₂] ],
entonces  
  Aᵀ = [ [a₁₁ a₂₁ a₃₁],
        [a₁₂ a₂₂ a₃₂] ].

Para A = [ [1  2],
        [0  –1],
        [7  0] ], tenemos

Aᵀ = [ [1  0  7],
        [2  –1  0] ]  (2×3).

Multiplicamos Aᵀ por 3:
  3Aᵀ = [ [3·1  3·0  3·7],
           [3·2  3·(-1)  3·0] ]
       = [ [3  0  21],
           [6  –3  0] ].

Ahora sumamos D, que tiene la misma dimensión (2×3):

D = [ [1  2  –1],
      [1  0   2] ].

Sumamos elemento a elemento:
  3Aᵀ + D = [ [3+1  0+2  21 + (–1)],
          [6+1  –3+0  0+2] ]
        = [ [4  2  20],
          [7  –3  2] ].

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2) Cálculo de (B – C)ᵀ

Primero, restamos C de B:
  B = [ [1  3],
      [4  –1] ],
  C = [ [1  0],
      [1  2] ].

Realizamos la resta:
  B – C = [ [1–1  3–0],
        [4–1  (–1)–2] ]
       = [ [0  3],
        [3  –3] ].

Luego, calculamos la traspuesta de (B – C). Recordando que para cualquier matriz M = [ [m₁₁ m₁₂],
                   [m₂₁ m₂₂] ],
tenemos Mᵀ = [ [m₁₁  m₂₁],
           [m₁₂  m₂₂] ].

Entonces,
  (B – C)ᵀ = [ [0  3],
          [3  –3] ].

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3) Cálculo de (D – 2 Aᵀ)ᵀ

Seguiremos los siguientes pasos:

a) Calcular 2 Aᵀ.

Recordamos que ya encontramos Aᵀ:
  Aᵀ = [ [1  0  7],
        [2  –1  0] ].

Multiplicamos por 2:
  2Aᵀ = [ [2  0  14],
        [4  –2  0] ].

b) Restamos 2Aᵀ de D. Ambas matrices son de dimensión 2×3:

D = [ [1  2  –1],
      [1  0   2] ].

Realizamos la resta elemento a elemento:
  D – 2Aᵀ = [ [1–2  2–0    –1–14],
          [1–4  0–(–2)  2–0] ]
       = [ [–1  2  –15],
          [–3  2  2] ].

c) Ahora, calculemos la traspuesta de (D – 2Aᵀ):
  (D – 2Aᵀ)ᵀ se obtiene intercambiando filas por columnas. Así, de la matriz de 2×3 obtenemos una de 3×2:

(D – 2Aᵀ)ᵀ = [ [–1  –3],
          [2   2],
          [–15 2] ].

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Resumiendo las respuestas:

1) 3Aᵀ + D = [ [4  2  20],
          [7  –3  2] ].

2) (B – C)ᵀ = [ [0  3],
          [3  –3] ].

3) (D – 2Aᵀ)ᵀ = [ [–1  –3],
          [2   2],
          [–15 2] ].
1. $$ 3A^{	op} + D = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 20 \ 7 & -3 & 2 \end{bmatrix} $$ 2. $$ (B - C)^{	op} = \begin{bmatrix} 0 & 3 \ 3 & -3 \end{bmatrix} $$ 3. $$ \left(D - 2A^{	op}ight)^{	op} = \begin{bmatrix} -1 & -3 \ 2 & 2 \ -15 & 2 \end{bmatrix} $$

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