8. Найдите первообразную $$ F(x) $$ проходящей через точку $$ (0,1) $$ для функции $$ f(x)=2 x-e^{-x} $$ $$ \begin{array}{ll} ext { A) } F(x)=x^{2}+e^{-x} & ext { B) } F(x)=x^{2}-e^{-x} \ ext { C) } F(x)=x^{2}+1+e^{-x} & ext { D) } F(x)=x^{2}+1-e^{-x}\end{array} $$

Question

8. Найдите первообразную $$ F(x) $$ проходящей через точку $$ (0,1) $$ для функции $$ f(x)=2 x-e^{-x} $$ $$ \begin{array}{ll}	ext { A) } F(x)=x^{2}+e^{-x} & 	ext { B) } F(x)=x^{2}-e^{-x} \ 	ext { C) } F(x)=x^{2}+1+e^{-x} & 	ext { D) } F(x)=x^{2}+1-e^{-x}\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Чтобы найти первообразную $$ F(x) $$ для функции $$ f(x) = 2x - e^{-x} $$, нам нужно выполнить интегрирование $$ f(x) $$ и затем использовать условие, что $$ F(0) = 1 $$.

1. **Интегрируем $$ f(x) $$**:
   $$
   F(x) = \int (2x - e^{-x}) \, dx
   $$

2. **Выполним интегрирование по частям**:
   - Интеграл от $$ 2x $$ равен $$ x^2 $$.
   - Интеграл от $$ -e^{-x} $$ равен $$ e^{-x} $$.

Таким образом, первообразная будет:
$$
F(x) = x^2 + e^{-x} + C
$$
где $$ C $$ — произвольная константа.

3. **Используем условие $$ F(0) = 1 $$**:
   $$
   F(0) = 0^2 + e^{0} + C = 1 + C
   $$
   Условие $$ F(0) = 1 $$ дает:
   $$
   1 + C = 1 \implies C = 0
   $$

Таким образом, первообразная $$ F(x) $$ будет:
$$
F(x) = x^2 + e^{-x}
$$

Теперь сравним с предложенными вариантами:
- A) $$ F(x) = x^2 + e^{-x} $$
- B) $$ F(x) = x^2 - e^{-x} $$
- C) $$ F(x) = x^2 + 1 + e^{-x} $$
- D) $$ F(x) = x^2 + 1 - e^{-x} $$

Правильный ответ: **A) $$ F(x) = x^2 + e^{-x} $$**.
Правильный ответ: A) $$ F(x) = x^2 + e^{-x} $$.

Найдите первообразную проходящей через точку для
функции

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Calculus Questions

Найдите первообразную проходящей через точку для функции