Derivar y graficar $$ \frac{3 x^{4}}{2}+3 x \frac{3}{x} $$

Question

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**Paso 1. Simplificar la función**

La función dada es

$$
f(x)=\frac{3x^4}{2} + 3x \cdot \frac{3}{x}.
$$

Observamos que en el segundo término se tiene

$$
3x \cdot \frac{3}{x} = \frac{9x}{x} = 9 \quad \text{(para } x \neq 0\text{)},
$$

por lo que la función se simplifica a

$$
f(x)=\frac{3x^4}{2}+9.
$$

---

**Paso 2. Derivar la función**

Para derivar $$ f(x)=\frac{3x^4}{2}+9 $$, derivamos término a término.

1. Derivada de $$ \frac{3x^4}{2} $$:

Utilizando la regla de la potencia, donde la derivada de $$ x^n $$ es $$ nx^{n-1} $$, tenemos

$$
\frac{d}{dx}\left(\frac{3x^4}{2}\right) = \frac{3}{2} \cdot 4x^{3} = 6x^{3}.
$$

2. Derivada de $$ 9 $$:

La derivada de una constante es $$ 0 $$, es decir,

$$
\frac{d}{dx}(9)=0.
$$

Por lo tanto, la derivada de la función es

$$
f'(x)=6x^{3}.
$$

---

**Paso 3. Graficar la función y la derivada**

- **Gráfica de $$ f(x)=\frac{3x^4}{2}+9 $$:**

- Esta es una función polinómica de cuarto grado.
  - La función presenta una forma similar a una parábola "abierta" hacia arriba, pero con mayor curvatura en los extremos debido al término $$ x^4 $$.
  - El término $$ +9 $$ desplaza la gráfica hacia arriba en 9 unidades.
  
- **Gráfica de $$ f'(x)=6x^{3} $$:**

- Esta es una función polinómica de tercer grado.
  - Para $$ x>0 $$, $$ f'(x) $$ es positivo, lo que indica que $$ f(x) $$ es creciente.
  - Para $$ x<0 $$, $$ f'(x) $$ es negativo, indicando que $$ f(x) $$ es decreciente.
  - La función $$ f'(x) $$ pasa por el origen y tiene una inflexión en $$ x=0 $$.

Puedes graficar ambas funciones utilizando por ejemplo Python con la biblioteca matplotlib. A continuación se ofrece un ejemplo de código:

```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Definir el rango de valores para x
x = np.linspace(-3, 3, 400)

# Definir las funciones
f = (3 * x**4) / 2 + 9
f_prime = 6 * x**3

# Crear la figura y los ejes
fig, ax = plt.subplots(2, 1, figsize=(8, 10))

# Gráfica de f(x)
ax[0].plot(x, f, label=r'$f(x)=\frac{3x^4}{2}+9$')
ax[0].set_title('Gráfica de $f(x)$')
ax[0].set_xlabel('x')
ax[0].set_ylabel('f(x)')
ax[0].legend()
ax[0].grid(True)

# Gráfica de f'(x)
ax[1].plot(x, f_prime, color='red', label=r"$f'(x)=6x^3$")
ax[1].set_title('Gráfica de $f\'(x)$')
ax[1].set_xlabel('x')
ax[1].set_ylabel("f'(x)")
ax[1].legend()
ax[1].grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()
```

Este código genera dos gráficos: el primero muestra la función $$ f(x)=\frac{3x^4}{2}+9 $$ y el segundo muestra su derivada $$ f'(x)=6x^3 $$.

---

**Respuesta Final**

- Función original:

$$
f(x)=\frac{3x^4}{2}+9,
$$

- Derivada:

$$
f'(x)=6x^{3}.
$$

La gráfica de $$ f(x) $$ muestra una curva polinómica de cuarto grado desplazada hacia arriba y la gráfica de $$ f'(x) $$ es una función cúbica que indica el comportamiento creciente o decreciente de $$ f(x) $$ dependiendo del signo de $$ x $$.
La función simplificada es $$ f(x) = \frac{3x^4}{2} + 9 $$. Su derivada es $$ f'(x) = 6x^3 $$.

Derivar y graficar \( \frac{3 x^{4}}{2}+3 x \frac{3}{x} \)

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