\( \frac{1}{2}=k \quad-\frac{1}{2} y=-\frac{9}{2}+\frac{3}{2},-\frac{1}{2} y=-\frac{1}{2}, y=1 \) Natančno izračunaj kot med vektorjem \( \vec{c}=3 \vec{\imath}-4 \vec{\jmath}+5 \vec{k} \) in aplikatno osjo.

Za izračun kota med vektorjem \( \vec{c} = 3 \vec{\imath} - 4 \vec{\jmath} + 5 \vec{k} \) in aplikatno osjo (osjo \( z \)), moramo najprej razumeti, da je aplikatna osja v tridimenzionalnem prostoru os \( z \), kar pomeni, da je njen vektor \( \vec{a} = 0 \vec{\imath} + 0 \vec{\jmath} + 1 \vec{k} \). Kota med dvema vektorjema lahko izračunamo s pomočjo skalarnega produkta: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{c}| |\vec{a}|} \] Kjer je \( \vec{c} \cdot \vec{a} \) skalarni produkt vektorjev, \( |\vec{c}| \) in \( |\vec{a}| \) pa sta dolžini vektorjev. 1. **Izračunajmo skalarni produkt \( \vec{c} \cdot \vec{a} \)**: \[ \vec{c} \cdot \vec{a} = (3)(0) + (-4)(0) + (5)(1) = 5 \] 2. **Izračunajmo dolžino vektorja \( \vec{c} \)**: \[ |\vec{c}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] 3. **Izračunajmo dolžino vektorja \( \vec{a} \)**: \[ |\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1 \] 4. **Vstavimo vrednosti v enačbo za \( \cos(\theta) \)**: \[ \cos(\theta) = \frac{5}{(5\sqrt{2})(1)} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] 5. **Izračunajmo kot \( \theta \)**: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \] To je znan kot kot \( 45^\circ \) ali \( \frac{\pi}{4} \) radianov. Torej, kot med vektorjem \( \vec{c} \) in aplikatno osjo je \( 45^\circ \) ali \( \frac{\pi}{4} \) radianov.