9. مساله مقدار اوليه را در بازء داده شده حل كنيد. (ץ نمره) الف. ب. $$ x y^{\prime}+y=y^{2} x^{2} \ln x $$ در بازء ( $$ \mathrm{y}=0.5 $$ كه به ازاى x=1 داريم

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

برای حل مسأله مقدار اولیه داده شده، معادله دیفرانسیل زیر را داریم:

$$
x \frac{dy}{dx} + y = y^2 x^2 \ln x
$$

با تقسیم هر دو طرف معادله بر $$ x $$، به شکل استانداردی از معادله برنولی تبدیل می‌شود:

$$
\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y = y^2 x \ln x
$$

این معادله، معادله‌ای از نوع برنولی با $$ n = 2 $$ است. برای حل این معادله، تغییر متغیری صورت می‌دهیم:

$$
z = \frac{1}{y} \quad \Rightarrow \quad \frac{dz}{dx} = -\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx}
$$

با جایگذاری این تغییر متغیر در معادله اصلی:

$$
\frac{dz}{dx} = \frac{z}{x} - x \ln x
$$

این معادله خطی مرتبه اول است و با استفاده از فاکتور انتگرالی، حل می‌شود. فاکتور انتگرالی به شکل زیر محاسبه می‌شود:

$$
\mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = \frac{1}{x}
$$

ضرب کردن کل معادله در $$ \mu(x) $$:

$$
\frac{d}{dx} \left( \frac{z}{x} \right) = -\ln x
$$

انتگرال‌گیری از هر دو طرف:

$$
\frac{z}{x} = -\int \ln x \, dx + C = -x \ln x + x + C
$$

بنابراین، داریم:

$$
z = -x^2 \ln x + x^2 + Cx
$$

بازگشت به متغیر $$ y $$:

$$
y = \frac{1}{-x^2 \ln x + x^2 + Cx}
$$

با اعمال شرط اولیه $$ y(1) = 0.5 $$:

$$
0.5 = \frac{1}{-1 \cdot 0 + 1 + C \cdot 1} \quad \Rightarrow \quad 1 + C = 2 \quad \Rightarrow \quad C = 1
$$

در نتیجه، راه‌حل نهایی معادله دیفرانسیل با شرط اولیه داده شده به صورت زیر است:

$$
y(x) = \frac{1}{x^2(1 - \ln x) + x}
$$

یا به فرم ساده‌تر:

$$
y = \frac{1}{x + x^2 (1 - \ln x)}
$$

**پاسخ نهایی:**

حل معادله با شرط اولیه y(1) = 0.5، به صورت زیر است

$$
y(x) = \frac{1}{\,x + x^{2} \left(1 - \ln x\,\right)}
$$
The solution to the differential equation with the initial condition $$ y(1) = 0.5 $$ is: $$ y(x) = \frac{1}{x + x^{2}(1 - \ln x)} $$

9. مساله مقدار اوليه را در بازء داده شده حل كنيد. (ץ نمره) الف. ب. \( x y^{\prime}+y=y^{2} x^{2} \ln x \) در بازء ( \( \mathrm{y}=0.5 \) كه به ازاى x=1 داريم

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Pre Calculus Questions