x) $$ \int \frac{d x}{x \sqrt{-x^{2}+x+2}} $$, usando sustituciones de Euler.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver la integral $$ \int \frac{d x}{x \sqrt{-x^{2}+x+2}} $$ utilizando sustituciones de Euler, primero debemos simplificar la expresión bajo la raíz cuadrada.

1. **Simplificación de la expresión bajo la raíz:**
   La expresión es $$ -x^{2} + x + 2 $$. Para facilitar la integración, podemos reescribirla en una forma más manejable. Primero, completamos el cuadrado:

$$
   -x^{2} + x + 2 = -\left(x^{2} - x - 2\right) = -\left((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{9}{4}\right) = \frac{9}{4} - (x - \frac{1}{2})^2
   $$

Así que la integral se convierte en:

$$
   \int \frac{d x}{x \sqrt{\frac{9}{4} - (x - \frac{1}{2})^2}}
   $$

2. **Sustitución de Euler:**
   Usamos la sustitución de Euler $$ x - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \sin(\theta) $$, lo que implica que $$ d x = \frac{3}{2} \cos(\theta) d\theta $$.

Entonces, la integral se transforma en:

$$
   \int \frac{\frac{3}{2} \cos(\theta) d\theta}{\frac{3}{2} \sin(\theta) + \frac{1}{2} \sqrt{9 - 9 \sin^2(\theta)}}
   $$

Simplificando la raíz:

$$
   \sqrt{9 - 9 \sin^2(\theta)} = 3 \cos(\theta)
   $$

Por lo tanto, la integral se convierte en:

$$
   \int \frac{\frac{3}{2} \cos(\theta) d\theta}{\frac{3}{2} \sin(\theta) + \frac{3}{2} \cos(\theta)} = \int \frac{\cos(\theta) d\theta}{\sin(\theta) + \cos(\theta)}
   $$

3. **Resolviendo la integral:**
   Ahora, podemos resolver la integral:

$$
   \int \frac{\cos(\theta) d\theta}{\sin(\theta) + \cos(\theta)}
   $$

Para resolver esta integral, podemos usar la sustitución $$ u = \sin(\theta) + \cos(\theta) $$, lo que implica que $$ du = (\cos(\theta) - \sin(\theta)) d\theta $$.

La integral se convierte en:

$$
   \int \frac{du}{u}
   $$

La solución es:

$$
   \ln |u| + C = \ln |\sin(\theta) + \cos(\theta)| + C
   $$

4. **Volviendo a la variable original:**
   Ahora, revertimos la sustitución de Euler. Recordemos que $$ \sin(\theta) = \frac{2x - 1}{3} $$ y $$ \cos(\theta) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} = \sqrt{1 - \left(\frac{2x - 1}{3}\right)^2} $$.

Finalmente, la solución de la integral es:

$$
   \ln \left| \frac{2x - 1}{3} + \sqrt{1 - \left(\frac{2x - 1}{3}\right)^2} \right| + C
   $$

Por lo tanto, la integral $$ \int \frac{d x}{x \sqrt{-x^{2}+x+2}} $$ se resuelve como:

$$
\ln \left| \sin(\theta) + \cos(\theta) \right| + C
$$

donde $$ \theta $$ está relacionado con $$ x $$ a través de la sustitución de Euler.
La integral $$ \int \frac{d x}{x \sqrt{-x^{2}+x+2}} $$ se resuelve utilizando sustituciones de Euler y se obtiene la solución: $$ \ln \left| \sin(\theta) + \cos(\theta) \right| + C $$ donde $$ \theta $$ está relacionado con $$ x $$ a través de la sustitución $$ x - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \sin(\theta) $$.

x) \( \int \frac{d x}{x \sqrt{-x^{2}+x+2}} \), usando sustituciones de Euler.

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