Pregunta
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x) \( \int \frac{d x}{x \sqrt{-x^{2}+x+2}} \), usando sustituciones de Euler.

Ask by Mathis Black. in Mexico
Mar 14,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

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La integral \( \int \frac{d x}{x \sqrt{-x^{2}+x+2}} \) se resuelve utilizando sustituciones de Euler y se obtiene la solución: \[ \ln \left| \sin(\theta) + \cos(\theta) \right| + C \] donde \( \theta \) está relacionado con \( x \) a través de la sustitución \( x - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \sin(\theta) \).

Solución

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Bonus Knowledge

Para resolver la integral \( \int \frac{d x}{x \sqrt{-x^{2}+x+2}} \) usando sustituciones de Euler, primero simplificamos el radicando. Comenzamos completando el cuadrado en el término \( -x^2 + x + 2 \). Esto se transforma en \( -\left(x^2 - x - 2\right) = -\left((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{9}{4}\right) = -\frac{1}{4}(9 - (2x - 1)^2) \). Luego, sustituyes \( x = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}\sin(\theta) \) para llevar a una forma que puedas integrar más fácilmente. Esto lleva a que el denominador se transforme y se simplifique la integral, permitiendo integrar de manera más directa. ¡Sigue los pasos y disfruta el proceso de la integración!

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