Las ecuaciones de costo para una fábrica son frecuentemente de naturaleza cuadrática. Si la ecuación de costos para fabricar calculadoras baratas es \( C=x^{2}-10 x+31 \) donde \( C \) es el costo de fabricación de \( x \) unidades por semana (C en miles de soles y x en miles de unidades), encuentre la producción para un costo semanal de 15 mil soles. (A) \( 3 y 4 \) (B) \( 2 y 8 \)

\[ \textbf{Paso 1:} \text{La ecuación de costo es } C = x^2 - 10x + 31. \] \[ \textbf{Paso 2:} \text{Se desea que el costo } C = 15 \text{ (mil soles), por lo que se sustituye en la ecuación:} \] \[ x^2 - 10x + 31 = 15. \] \[ \textbf{Paso 3:} \text{Restamos } 15 \text{ a ambos lados para igualar a cero: } \] \[ x^2 - 10x + (31 - 15) = 0 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - 10x + 16 = 0. \] \[ \textbf{Paso 4:} \text{Resolvemos la ecuación cuadrática. Se calcula el discriminante } \Delta: \] \[ \Delta = (-10)^2 - 4(1)(16) = 100 - 64 = 36. \] \[ \textbf{Paso 5:} \text{Se aplica la fórmula general: } x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}. \] \[ x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{10 \pm 6}{2}. \] \[ \textbf{Paso 6:} \text{Se obtienen las dos soluciones:} \] \[ x = \frac{10 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8, \quad \text{y} \quad x = \frac{10 - 6}{2} = \frac{4}{2} = 2. \] \[ \textbf{Paso 7:} \text{Por lo tanto, las producciones que cumplen con un costo semanal de 15 mil soles son } 2 \text{ y } 8 \text{ (miles de unidades).} \] \[ \textbf{Respuesta: (B)} \quad 2 \text{ y } 8. \]