417. Točke $$ A(4,2,6), B(2,5,0) $$ in $$ C(3,3,2) $$ so oglišča paralelograma $$ A B C D $$. a) Zapišite koordinate točke $$ D $$. b) Natančno izračunajte dolžino diagonale $$ e $$. c) Na minuto natančno izračunajte velikost $$ \Varangle B A D $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Za rešitev problema bomo sledili korakom a), b) in c).

### a) Koordinate točke $$ D $$

Paralelogram $$ ABCD $$ ima nasprotni točki $$ A $$ in $$ C $$ ter $$ B $$ in $$ D $$. Koordinate točke $$ D $$ lahko izračunamo z uporabo formule za nasprotne točke v paralelogramu:

$$
D = A + C - B
$$

Kjer so koordinate točk:
- $$ A(4, 2, 6) $$
- $$ B(2, 5, 0) $$
- $$ C(3, 3, 2) $$

Izračunajmo koordinate točke $$ D $$:

$$
D = (4, 2, 6) + (3, 3, 2) - (2, 5, 0)
$$

Izračunajmo torej vsako komponento posebej:

$$
D_x = 4 + 3 - 2
$$
$$
D_y = 2 + 3 - 5
$$
$$
D_z = 6 + 2 - 0
$$

Sedaj izračunajmo vrednosti:

$$
D_x = 5, \quad D_y = 0, \quad D_z = 8
$$

Torej so koordinate točke $$ D $$:

$$
D(5, 0, 8)
$$

### b) Dolžina diagonale $$ e $$

Dolžina diagonale $$ e $$ je razdalja med točkama $$ A $$ in $$ C $$. To lahko izračunamo s formulo za razdaljo med dvema točkama v prostoru:

$$
e = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 + (z_C - z_A)^2}
$$

Vstavimo koordinate točk $$ A $$ in $$ C $$:

$$
e = \sqrt{(3 - 4)^2 + (3 - 2)^2 + (2 - 6)^2}
$$

Izračunajmo vrednosti:

$$
e = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (-4)^2}
$$
$$
e = \sqrt{1 + 1 + 16}
$$
$$
e = \sqrt{18}
$$
$$
e = 3\sqrt{2}
$$

### c) Velikost $$ \Varangle B A D $$

Za izračun velikosti kota $$ \Varangle B A D $$ bomo uporabili vektorski pristop. Najprej izračunamo vektorje $$ \vec{BA} $$ in $$ \vec{DA} $$:

$$
\vec{BA} = A - B = (4 - 2, 2 - 5, 6 - 0) = (2, -3, 6)
$$
$$
\vec{DA} = A - D = (4 - 5, 2 - 0, 6 - 8) = (-1, 2, -2)
$$

Nato izračunamo velikost teh vektorjev:

$$
|\vec{BA}| = \sqrt{(2)^2 + (-3)^2 + (6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7
$$
$$
|\vec{DA}| = \sqrt{(-1)^2 + (2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
$$

Sedaj izračunamo skalarni produkt $$ \vec{BA} \cdot \vec{DA} $$:

$$
\vec{BA} \cdot \vec{DA} = 2 \cdot (-1) + (-3) \cdot 2 + 6 \cdot (-2) = -2 - 6 - 12 = -20
$$

Zdaj lahko izračunamo kosinus kota $$ \Varangle B A D $$:

$$
\cos(\Varangle B A D) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{DA}}{|\vec{BA}| |\vec{DA}|} = \frac{-20}{7 \cdot 3} = \frac{-20}{21}
$$

Zdaj izračunamo kot $$ \Varangle B A D $$:

$$
\Varangle B A D = \arccos\left(\frac{-20}{21}\right)
$$

To je končni rezultat za velikost kota $$ \Varangle B A D $$.
a) Točka $$ D $$ ima koordinate $$ (5, 0, 8) $$. b) Dolžina diagonale $$ e $$ je $$ 3\sqrt{2} $$. c) Velikost kota $$ \Varangle B A D $$ je $$ \arccos\left(\frac{-20}{21}\right) $$ stopinj.

417. Točke \( A(4,2,6), B(2,5,0) \) in \( C(3,3,2) \) so oglišča paralelograma \( A B C D \). a) Zapišite koordinate točke \( D \). b) Natančno izračunajte dolžino diagonale \( e \). c) Na minuto natančno izračunajte velikost \( \Varangle B A D \).

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Geometry Questions