$$ \left\{\begin{array}{l}y^{\prime }=x[3-2y] \y(0)=1\end{array} ight. $$

Question

$$ \left\{\begin{array}{l}y^{\prime }=x[3-2y] \y(0)=1\end{array}ight. $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Per risolvere il sistema di equazioni differenziali dato:

$$
\left\{
\begin{array}{l}
y' = x[3 - 2y] \
y(0) = 1
\end{array}
\right.
$$

seguiamo i seguenti passaggi:

### Passo 1: Risolvere l'equazione differenziale

L'equazione differenziale è di tipo separabile. Possiamo riscriverla come:

$$
\frac{dy}{dx} = x(3 - 2y)
$$

Separiamo le variabili:

$$
\frac{dy}{3 - 2y} = x \, dx
$$

### Passo 2: Integrare entrambi i lati

Ora integriamo entrambi i lati:

$$
\int \frac{dy}{3 - 2y} = \int x \, dx
$$

Calcoliamo le due integrali. Iniziamo con il lato sinistro:

$$
\int \frac{dy}{3 - 2y} = -\frac{1}{2} \ln |3 - 2y| + C_1
$$

E ora il lato destro:

$$
\int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_2
$$

### Passo 3: Mettere insieme i risultati

Eguagliamo i risultati delle due integrazioni:

$$
-\frac{1}{2} \ln |3 - 2y| = \frac{x^2}{2} + C
$$

dove $$C = C_2 - C_1$$.

### Passo 4: Risolvere per $$y$$

Moltiplichiamo entrambi i lati per -2:

$$
\ln |3 - 2y| = -x^2 - 2C
$$

Esponiamo entrambi i lati:

$$
|3 - 2y| = e^{-x^2 - 2C} = Ke^{-x^2}
$$

dove $$K = e^{-2C}$$ è una costante positiva. Possiamo rimuovere il valore assoluto considerando i due casi:

1. $$3 - 2y = Ke^{-x^2}$$
2. $$3 - 2y = -Ke^{-x^2}$$

### Passo 5: Risolvere per $$y$$

Prendiamo il primo caso:

$$
3 - 2y = Ke^{-x^2} \implies 2y = 3 - Ke^{-x^2} \implies y = \frac{3}{2} - \frac{K}{2} e^{-x^2}
$$

### Passo 6: Applicare la condizione iniziale

Utilizziamo la condizione iniziale $$y(0) = 1$$:

$$
1 = \frac{3}{2} - \frac{K}{2} e^{0} \implies 1 = \frac{3}{2} - \frac{K}{2}
$$

Risolvendo per $$K$$:

$$
\frac{K}{2} = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} \implies K = 1
$$

### Passo 7: Scrivere la soluzione finale

Sostituendo $$K$$ nella nostra espressione per $$y$$:

$$
y = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} e^{-x^2}
$$

Quindi, la soluzione finale dell'equazione differenziale è:

$$
y(x) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} e^{-x^2}
$$
La soluzione dell'equazione differenziale è $$ y(x) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} e^{-x^2} $$.

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